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数形结合思想是中学几大基本数学思想之一，常在高考数学中用到，在适当的题目上运用数形结合思想往往能够事半功倍，甚至对于解答题的思路有很明确的指导作用。 直接看一道2020届浙江名校五校联考，学军中学命题的一道经典的选择题，题目难度可能不大，但是对于基本数学思想的掌握来说，确实是一道非常好的题目。 一、题目 对数相关函数单调性、含参数的三次函数与方程结合，根据方程解的情况，求参数的取值范围。 二、思路解析1、函数单调性 赋值法确定函数f(x)的解析式 函数单调性： 函数在定义域上单调，则自变量与函数值是严格的一一对应关系，可知f(x) log(⅓)x=常数，设为t，于是可得：f(x)=常数t-log(⅓)x=常数t log₃x。 赋值法： 令x=t，则4=f(t)=t log₃t，可得t=3。 于是函数f(x)的解析式为：f(x)=3 log₃x。  2、常规通法导数法： 确定函数f(x)单调递增、定区间上的值域，函数g(x)的单调区间、极值。 导数为正，可知f(x)单调递增，进而可得f(x)在定区间(0，3]上的值域为(-∞，4]，且|f(x)-3|在(0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，|f(x)-3|的值从＋∞减到0，再从0增到1。 令g(x)=x³-6x² 9x-4 a，导数g´(x)=3x²-12x 9=3(x-1)(x-3)，知g(x)极大值点1，极小值点3，在(0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减。 3、数形结合思想事半功倍 方程|f(x)-3|=g(x)在区间(0，3]上有两解，应该没有谁会傻傻地直接研究方程，那是费力不讨好的事。 由数形结合思想，|f(x)-3|的图像、g(x)的图像在区间(0，3]上有两个交点，画一个草稿图，问题瞬间明朗： 在区间(0，3]上， x=1处，|f(x)-3|的最低点必须在g(x)最高点的下方，即a＞0。 x→0处，|f(x)-3|→＋∞必然在g(0)=a-4上方。 于是，|f(x)-3|的图像、g(x)的图像在区间(0，3]上要有两个交点，只需x=3处|f(x)-3|与g(x)重合或者在g(x)上方即可，即|f(3)-3|≥g(3)，即a≤5。  于是问题就轻松解决了。 三、数学思想方法启示对于较复杂的函数与方程结合的题，很多时候巧妙运用数形结合思想，能起到四两拨千斤的作用： 比如2019年高考数学江苏卷第14题，填空压轴题，运用数形结合思想能够很直观简洁地解决问题，然而如果不运用数形结合思想，必然事倍功半，高考场上甚至无法解出问题。  数形结合思想对于一些解答题的思路有很好的指导意义： 比如2019年高考数学全国卷一第20题第⑵问，运用数形结合思想，将函数零点转化为三角函数与对数相关函数的图像交点，可以很直观地判断函数的两个零点分别在什么位置、或者什么范围之内。 于是根据零点的分布，分类讨论思想应运而生。 再以导数法作为主线贯穿，解题过程自然而然水到渠成。  四、小结高中数学的学习，不外乎这样几方面： 一是基础知识点： 函数与导数、数列、解析几何、立体几何、集合、复数、向量、三角函数、排列组合、概率与统计等，所有高考要求的知识点全部掌握牢固。 二是中学几大基本数学思想： 化归转化思想、分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想。类别简单，蕴含丰富，掌握好基本数学思想，很多表面看起来复杂的问题，在你的火眼金睛之下根本无处遁形。 当然，本篇文章笔者就以数形结合思想来抛砖引玉。 三是各个内容板块的方法： 比如数列一、二阶线性、非线性递推的几种经典类型和处理方法，特别是累加法、累乘法、待定系数法、取倒数法、取对数法、特征方程法、不动点法。 比如数列的经典求和方法，倒序相加法、裂项相消法、错位相减法等。 比如解析几何很多题的常规通法：联立方程→韦达定理→弦长公式→函数最值、不等式等问题，当然不要死板，并不是所有解析几何大题都是这样的一条主线。 比如立体几何“面面——线面——线线”的转化主线(不外乎寻找辅助线，判定定理、性质定理结合运用)，二面角转化为平面角、体积法、面积法等。 四是一些特殊技巧： 比如放缩法的一些经典形式：如导数四线放缩的多个结论。 比如裂项相消的一些经典形式和类比技巧。 比如向量里的极化恒等式、等和线。 比如解析几何里的点差法、设而不求，等等。 本篇以一道经典的含参数的函数与方程结合的选择题为例，注意给大家讲解一下数形结合思想的运用，启示大家注重和掌握好中学基本数学思想。 顺便提醒大家：不要无休止地乱刷题，不是所有题都有必要刷，甚至一些辅导资料里面有“可刷性”的题只占很少的一部分，大家一定要注意根据自己的具体情况“大肆”取舍。 而像这类经典的题，不要只关心一下正确答案就了事，好题就应该充分地发光发热，作为“题母”深度研究，深度研究一题胜过一些同学盲目滥刷十题百题。 掌握好这几个方面，你自然而然可以淡定从容地面对高考数学。 |
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