家长给孩子收藏！数轴标根法，轻松解决含参分类讨论问题！

在高中阶段的学习中，导数是一个非常重要的知识点，也是一个难点，综合性很强，涉及到函数、不等式等各章知识点，因此，高考出题老师习惯将导数作为高考数学试卷的最后一道解答题，往往也能难住了我们不少同学，失分严重。

本篇内容由轻轻特约周老师轻轻整理

高考解答题对导数部分的考察几乎都会涉及到对某个参数的分类讨论，含参分类讨论在高考中处于重要的“地位”：分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点与热点，而且是高考的难点。

考生在这一题中的得分率并不高。主要原因有两个，一是看不懂题意，二是不会分类讨论。而每年在中高档题甚至在低档题中都设置分类讨论问题，通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题解决问题的能力。

下面，针对含参分类讨论问题，带给大家一种利用函数图像去解题的方法——数轴标根法。

例1：已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．求函数f(x)的单调区间；

方法点拨：已知函数解析式求单调区间，实质上是求在定义域（该题目为x>0）之内f′(x)>0，f′(x)<>

• 对f(x)求导得f′(x)＝1/x－a=(1-ax)/x；
• 去判断f′(x)哪一部分因式会对f′(x)的正负会有影响，显而易见，该题目中（1-ax）的正负决定了f′(x)的正负；
• 去画y=1-ax的图像来判断该1-ax>0和1-ax<>

对于y=1-ax，这是一个非常明显的一次函数，图像为一条直线，该直线的画法由a决定。

由图可知，a>0时，x∈（0,1/a)，1-ax>0；x∈(1/a,＋∞)，1-ax<>

a<0时，x∈(0，＋∞)，1-ax>0；

a=0时，x∈(0，＋∞)，1-ax>0。

根据以上方法，则可判断f′(x)>0，f′(x)<>

利用数轴标根法对该题分析明白后，我们就可以对该题进行解答了：

解：(1)f′(x)＝1/x－a=(1-ax)/x (x>0)，

①当a>0时，令f′(x)＝1/x－a＝0，可得x＝1/a，

当0<><时，f′(x)＝>0；

当x>时，f′(x)＝<>

故函数f(x)的单调递增区间为(0，1/a),

单调递减区间为(1/a,＋∞)．

②当a≤0时，f′(x)＝(1-ax）/x>0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．

综上可知，当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1/a),单调递减区间为(1/a,＋∞)；当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)。

教学心得

以上例题是利用数轴标根法去解答含参的分类讨论问题。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。同学们学会该方法后，就发现含参分类讨论问题再也不是问题了。