|
今天接下来介绍另外一种类型的相似三角形存在性问题，也就是两个三角形的形都在变化。 【中考真题】 （2019·锦州）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=-3/4x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x²+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E． （2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； 【分析】 本题中由于点D的变化，导致两个三角形都发生变化。 不过在变化中还是有不变的东西。 也就是△ACE的形状不变，只是大小发生变化。 而且易得∠BED=∠AEC，且△ACE不是等腰三角形。 那么相似的类型也就只有两种情况了。 之前一般利用边的关系，本题直接利用角的关系就比较容易得出结论。 当∠ABD=90°时，我们只需要过点B作BD的垂线即可； 当∠BDE=90°时，BD∥x轴，点D的纵坐标就确定了。 【答案】 存在．如图1，过点B作BH⊥CD于H，设C（t，0），则D（t，-t^2+13/4 t+3），E（t，-3/4 t+3），H（t，3）； ∴EC=-3/4 t+3，AC＝4﹣t，BH＝t，DH＝﹣t2+13/4t，DE＝﹣t2+4t ∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC ∴△BDE∽△ACE或△DBE∽△ACE ①当△BDE∽△ACE时，∠BDE＝∠ACE＝90°， ∴BD/DE=AC/CE，即：BD·CE＝AC·DE ∴t（-3/4 t+3）＝（4﹣t）×（﹣t2+4t），解得：t1＝0（舍去），t2＝4（舍去），t3=13/4， ∴D（13/4，3） ②当△DBE∽△ACE时，∠BDE＝∠CAE ∵BH⊥CD ∴∠BHD＝90°， ∴BH/DH=tan∠BDE＝tan∠CAE=CE/AC，即：BH·AC＝CE·DH ∴t（4﹣t）＝（-3/4 t+3）（﹣t2+13/4t），解得：t1＝0（舍），t2＝4（舍），t3=23/12， ∴D（23/12，50/9）； 综上所述，点D的坐标为（13/4，3）或（23/12，50/9）。 【总结】 解题过程中的关键就是针对动点的分析，分析变化前后的图形变化情况，再根据边或角的关系确定结论。 |
|
|
