2020年中考数学二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2 + bx + 4 过点 A（﹣2，0），B（4，0），x 轴上有一动点 P（t，0），过点 P 且垂直于 x 轴的直线与直线 BC 及抛物线分别交于点 D，E，连接 CE，AC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 P 在线段 OB 上运动时（不与点 O，B 重合），若 △CDE 与 △ABC 相似，求 t 的值；

（3）当点 P 在 x 轴上自由运动时，是否存在点 P，使 △CDE 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】解：

（1）用抛物线交点表达式得：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），

将点 C（0 , 4）代入表达式可得：﹣8a＝4，解得 a＝﹣1/2，

故抛物线的表达式为：y＝﹣1/2 x2 + x + 4，

（2）由题意得：AB＝6，AC＝2√5，BC＝4√2，

∵ PE∥y 轴，

∴ ∠OCB＝∠OBC＝∠PDB＝∠CDE＝45°，

故只存在 △CDE∽△ABC 和 △CDE∽△CBA 两种情况，

OB＝OC＝4，则直线 BC 的表达式为：y＝﹣x + 4，

点 P（t，0），则点 E（t，﹣1/2 t2 + t + 4）、D（t，﹣t+4），CD＝xD/sin45°＝√2t，

① 当 △CDE∽△ABC 时，

则 CD/AB = ED/CB，

即 √2t / 6 = （﹣1/2 t2 + 2t ）/ 4√2，

解得：t＝0 或 4/3（ 舍去 0 ）；

② 当 △CDE∽△CBA 时，

则 CD/CB = ED/AB，

即 √2t / 4√2 = （﹣1/2 t2 + 2t ）/ 6，

解得：t＝0 或 1（ 舍去 0 ）；

故 t＝1 或 4/3；

（3）点 P（t，0），则点 E（t，﹣1/2 t2 + t + 4）、D（t，﹣t + 4），

① 当 CD＝DE 时，

即：√2t＝﹣1/2t2+2t，

解得：t＝4-2√2 或 0（舍去 0）；

② 当 CD＝CE 时，

同理可得：t＝0 或 4（全部舍去）；

③ 当 DE＝CE 时，

同理可得：t＝0 或 2（舍去 0）；

当点 P 移动到点 B 的右侧时，D，E 的上下位置发生了变化，

同理可得：点 P（4+2√2，0）；

故点 P 的坐标为（4-2√2，0）或（2，0）或（4+2√2，0）．

【总结】

1、熟练掌握抛物线的三种表达形式；（一般式、交点式、顶点式）

2、熟练掌握相似三角形的判定条件；（两边对应成比例且夹角相等这条非常重要）

3、在图形的运动变化过程中一定要抓住特殊的点或位置，学会用数形结合，分类讨论的数学思想去解决数学问题；

4、两点之间的距离公式一定要会用，知道平面内两个点的坐标求线段长度！