1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件. 2.掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简. 3.了解最简二次根式的概念,会判断一个二次根式是不是最简二次根式.
经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.
经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.
【重点】 会求二次根式中字母的取值范围,理解和掌握二次根式的性质,熟练化简二次根式. 【难点】 运用二次根式的双重非负性解决问题,二次根式性质的综合运用. 第课时
使学生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围.
经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.
经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.
【重点】 了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件. 【难点】 会求二次根式中字母的取值范围.
【教师准备】 教学所需的习题资料. 【学生准备】 复习平方根和立方根的有关知识.
导入一: 唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪八戒来到后花园,看见人参果树上结满了人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.有爱好数学的电视迷算了人参果下落的时间t与h之间的关系式为t=,你觉得他算的正确吗? 要解决这个问题,我们得从二次根式说起. [设计意图] 将数学问题融入到学生喜爱的神话故事中,激发学生学习的兴趣,拉近了数学与学生的距离,为探究本节课奠定了基础. 导入二: 1.教师出示复习题: (1)4的平方根是 ;0的平方根是 ;-16的平方根是 . (2)5的平方根是 ;5的算术平方根是 . 学生口答:(1)4的平方根是±2;0的平方根是0;-16没有平方根. (2)5的平方根是±;5的算术平方根是. 2.教师出示教材第2页“思考”题: 用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点: (1)面积为3的正方形的边长为 ,面积为S的正方形的边长为 . (2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m2,则它的宽为 m. (3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为 . 学生思考后回答,教师补充得出答案:(1),;(2);(3) . [设计意图] 以回顾练习和思考的形式引导学生回忆,巩固所学知识,并引入新课.
1.二次根式的概念 思路一 [过渡语] (针对导入二)让我们一起来看下面的问题:上面得到的式子,,, 分别表示什么意义?它们有什么共同特征? 教师引导学生说出各式的意义,概括它们的共同特征:都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根. 讨论:你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗? 学生小组讨论,全班交流.教师由此给出二次根式的定义: 一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 追问:在二次根式的概念中,为什么要强调“a≥0”? 教师引导学生举出例子说明,经过讨论知道二次根式被开方数必须是非负数. [设计意图] 让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系,体会研究二次根式的必要性,再让学生体会由特殊到一般的过程,培养学生的概括能力,最后通过讨论二次根式中被开方数a≥0,进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解. 思路二 像,,, 这样的式子有什么共同特点呢? 学生观察,交流发现:一是从形式上看,都含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数必须是非负数. 教师进一步明确:形如(a≥0)的式子叫做二次根式. 引导学生说一说对二次根式的认识: (1)表示a的算术平方根;(2)a可以是数,也可以是代数式;(3)从形式上看,含有二次根号;(4)a≥0,≥0. [设计意图] 加深对二次根式的理解,进一步明确二次根式的非负性. 2.例题讲解 [过渡语] 二次根式的定义怎样理解?让我们一起来学习几个例题. 下列各式中,哪些是二次根式?并指出二次根式中的被开方数. ,,,(x≥3),(y>-1),,, (xy>0). 引导学生观察根指数和被开方数分析发现:显然不是二次根式(因为它的根指数是4,含有四次根号),其余式子都含有二次根号,关键看根号下的被开方数是否为非负数.若根号下是负数,则二次根式没有意义. 解:,(x≥3),, (xy>0)是二次根式.其中被开方数依次是7,x-3,(x+1)2,. [解题策略] ①当被开方数形式是含有字母的代数式时,可以把这个代数式看成一个整体.如的被开方数是x2+2015.②当被开方数形式比较复杂时,可以将这个被开方数适当化简.如,因为(-3)2-7=9-7=2,所以它的被开方数其实就是2. 【变式训练】 下列各式中,一定是二次根式的是 ( ) A. B. C. D.(其中a<0) 〔解析〕 的被开方数-9<0,的被开方数m-1可能是负数,的根指数是3,所以选项A,B,C中的式子都不是二次根式.含有二次根号,并且无论a取什么负数,被开方数a2+8都是正数,所以一定是二次根式.故选D. (教材例1)当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义? 引导学生从概念出发进行思考:二次根式的被开方数为非负数,则x-2≥0. 解:由x-2≥0,得x≥2. 当x≥2时,在实数范围内有意义. 【变式训练】 若式子1+有意义,则x的取值范围是 . 〔解析〕 根据二次根式的性质可知:x+1≥0,即x≥-1;又因为分式的分母不能为0,所以x的取值范围是x≥-1且x≠0.故填x≥-1且x≠0. [易错分析] 容易产生只考虑到x+1≥0,而忽略了x≠0的错误. [设计意图] 通过变式训练,加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解,提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识. [知识拓展] (1)二次根式的定义是从代数式的结果和形式上界定的,必须含有二次根号“”,如,都是二次根式,而就不是二次根式了.(2)在二次根式中,被开方数可以是具体的数,也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等代数式.(3)形如b(a≥0)的式子也是二次根式,其表示的是b与的乘积,如3表示3×,-表示-×,但是不能写成3的形式.(4)当a≥0时,表示a的算术平方根.也就是说,有意义的条件是a≥0.(5)当a是非负数时,(其中a≥0)本身也是一个非负数.
师生共同回顾本节课所学主要内容:
1.已知下列各式:,(a≥2),, ,其中二次根式的个数是 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:的被开方数不是非负数,所以不是二次根式,其余3个都是二次根式.故选C. 2.(2014·南通中考)若在实数范围内有意义,则x的取值范围是 ( ) A.x≥ B.x≥- C.x> D.x≠ 解析:是二次根式,因此2x-1≥0,在分母上,因此≠0.则解得x>.故选C. 3.当x= 时,二次根式有最小值,其最小值是 . 解析:∵二次根式有意义,∴x+3≥0,即x+3的最小值是0,∴x+3=0,解得x=-3. 答案:-3 0 4.求下列各式中字母a的取值范围: (1);(2) ;(3);(4). 解:(1)由a+1≥0,得a≥-1.∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数. (2)由>0,得1-2a>0,即a<.∴字母a的取值范围是小于的实数. (3)因为无论a取何值,都有(a-3)2≥0,所以字母a的取值范围是全体实数. (4)因为无论a取何值,都有|a|+1>0,所以字母a的取值范围是全体实数.
第1课时 1.二次根式的概念 2.例题讲解 例1 例2 |
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