暑假超车 | 九年级上册【二次函数】知识点梳理 例题详解 章节测试

二次函数

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知识点梳理：

1.定义：一般地，如果y=ax²+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数.

2.二次函数y=ax²的性质

（1）抛物线y=ax²的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.

（2）函数y=ax²的图像与a的符号关系.

 ①当a>0时Û抛物线开口向上Û顶点为其最低点；

②当a<0时Û抛物线开口向下Û顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为y=ax²（a≠0）.

3.二次函数 y=ax²+bx+c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.

4.二次函数y=ax²+bx+c用配方法可化成：

y=a（x - h）²+k的形式，其中

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①y=ax²；

②y=ax²+k；

③y=a（x - h）²；

④y=a（x - h）²+k；

⑤y=ax²+bx+c.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

 ①a的符号决定抛物线的开口方向：

当a>0时，开口向上；

当a<0时，开口向下；

|a|相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作x=h.特别地，y轴记作直线x=0.

7.顶点决定抛物线的位置.

几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：

∴顶点是:

对称轴是直线:

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a（x-h）²+k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x=h.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

9.抛物线y=ax²+bx+c中，a、b、c的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与y=ax²中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线，故：

①b=0时，对称轴为y轴；

②（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；

③（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.

（3）的大小决定抛物线y=ax²+bx+c与y轴交点的位置.

 当x=0时，y=c，∴抛物线y=ax²+bx+c与y轴有且只有一个交点（0，c）：

 ①c=0，抛物线经过原点;

 ②c>0，与y轴交于正半轴；

 ③c<0，与y轴交于负半轴.

以上三点当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

11.用待定系数法求二次函数的解析式

 （1）一般式：y=ax²+bx+c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

 （2）顶点式：y=a（x - h）²+k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

 （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x_1、x₂，通常选用交点式:y=a(x-x₁)(x-x₂).

12.直线与抛物线的交点

 （1）y轴与抛物线y=ax²+bx+c得交点为(0, c).

 （2）与y轴平行的直线X=h与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个交点（h, ah²+bh+c）

（3）抛物线与轴的交点

  二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x_1、x₂，是对应一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

  ①有两个交点Û△>0Û抛物线与x轴相交；

  ②有一个交点（顶点在x轴上）Û△=0Û抛物线与x轴相切；

  ③没有交点Û△<0Û抛物线与轴相离.

（4）平行于轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax²+bx+c=k的两个实数根.

 （5）一次函数y=kx+n(k≠0)的图像L与二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像G的交点，由方程组的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时L与G有两个交点; 

②方程组只有一组解时L与G只有一个交点；

③方程组无解时L与G没有交点.

（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax²+bx+c与x轴两交点为A(x₁,0),B(x_2,0)，由于x_1、x₂是方程ax²+bx+c=0的两个根，故

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