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刷题不叫训练！ 题海也不叫训练！ 我必须开宗明义地摆明态度。 讲这个话题，不免会带来争议，不过好在大家都喜欢看有争议的东西，有的人看热闹，有的人看门道，不管看啥，这篇文章都值得你花时间仔细读完。 事实上，这是一篇枯燥乏味的文章，我连图也不想配，你需要用十二万分的耐心来看完它。 鉴于很多时候人们在网络交流，通过网络阅读，容易产生歧义或误读，为了让接下去我洋洋洒洒写的数千字没有白费，我需要首先来一次语文的阅读理解分析，分析什么？分析一下标题。 标题提供了什么样的信息？下面就是我的答案，请看完，以便确认你对此的理解无误—— 对象：小学生（注意既不是学龄前儿童，也不是初中生，这里的小学生我圈定在一年级到五年级，别问我为什么，因为我目前工作主要就聚焦在这个范围） 主题：提高计算（你可以理解为技能，但我可以告诉你技能离不开对概念的理解） 观点：计算需要训练，但刷题≠训练 所以，不要再来扭曲我的观点：“大陆老师说计算不重要”，“大陆老师说计算不需要练习”。 其实有时候也不能怪家长，由于某些传言和误导，加上人们本来就没有耐心去阅读带有辩证性的文字，所以，象这样的句式： “没有计算的准确率，追求计算的速度是没有意义的”，或者“如果没有充分理解运算原理，盲目进行计算速度训练，是极为有害的”，再或者“先解决儿童数字运算推理的能力，再来提高速度是很容易的事”等等这样的语言，最终都会被解释为：“大陆老师说，计算速度不重要。” （有人把上图发给我，我对此进行了注释，你可以看出，人们在网络上的对话是多么地混乱，很多时候人们只是看见了自己想看到的东西。） 好，如果你已经觉得烦躁了，那么stop！接下去我就直截了当来说说，怎么进行小学生的计算训练。 第一部分： 概念理解的训练与逻辑技能训练的分配 首先我要提出一个观点：计算能力的训练，如果把概念逻辑剥离开去谈，是没有意义的，不同孩子在不同部分上的缺失，我们必须要全方位重视，而不能一种方法强调到底。 所以我把计算的训练，分成两个部分： 一是概念理解方面的训练（以下简称“概念训练”）：意思是要从运算原理的基础开始补起，孩子的错误可能是由于不理解符号，不理解算式，不理解运算法则等等，这方面的训练可以见第二部分。 二是逻辑技能训练（以下简称“技能训练”）：注意我这里把逻辑归入到技能，并不代表概念里不包括逻辑，逻辑思维实际上渗透在数学的方方面面，这里的逻辑技能，意思是在孩子理解运算原理的基础上，他们需要把逻辑推理的能力从生疏变为娴熟，从需要成人一步步引导推理，到自主完成整个过程，因此你可以看成是一种技能训练。 理解上述定义后，再看下表，我把小学分成这样三个阶段，注意这里的划分纯粹是为本主题服务的，也就是，如果离开今天谈的计算训练，我就不会如此进行划分。 按照年级分成三个阶段后，再看三种计算错误情况： 第一类：大量各种类型错误：意思是孩子每天作业中，都出现很多计算错误，错误分布在各种类型计算上，你已经无法进行归类。 第二类：集中某类计算错误：意思是错误虽然比较多，可能是20-40%，甚至更多，但是主要集中在某一类型上，比如两位数退位减法，大数乘除混合运算，带括号运算等等，这需要你自己观察总结。 第三类：偶尔错误：比如偶尔出现1-2个错误，某次测验突然错了不少计算题，但是平日计算都很稳定等等。 以上三种类型，请大家自己理解性对号入座，没有人能够把所有孩子的状况都分析精确，以上已经是相对合理的划分，我相信每个孩子不同时期可能混合了上述不同的情况，我的这篇文章可以看成是一种方法论的具体演绎，你要理解其中的核心，而不是把重点聚焦以及纠结在数字上，本文中所有例举的数字，都只是我观念的一种量化，因此你需要综合看完整篇文章，来理解其中的思想，进而通过不断实践，调整，来达到最佳方案。 为了方便大家对照来看，我再次贴出这张表： 根据三种错误，以及三个阶段，我提供了概念训练与技能训练在时间上的分配比例。 8/2意思就是8份时间用于概念训练，2份时间用于技能训练；比如你要花1个小时在一个问题上，那么你就要用48分钟进行概念理解方面的训练，剩下12分钟进行技能训练。 你理解这里数字的含义后，再来看这份表所体现的分配原则，我具体解释一下： 就集中某类计算错误这种情况而言，三个阶段没有什么差别，这种集中错误最能说明问题，你必须要帮孩子攻破，所以对于大部分孩子来讲，都应该概念技能两手抓，相对来讲概念训练更偏重一些，因为本来针对概念的辅导就比较花时间，而同样的时间里，技能训练会涉及更多的题目。 就大量出错的情况而言，1-4年级，都应当把重心放在概念训练上，因为这种大面积错误，无论低年级，还是中高年级，都在提示你孩子在运算的原理法则上欠缺太多，你需要重视，重视，重视！这并不是通过简单多做几道题目就能解决的，你必须从根本上解决这个顽疾。 同样的情况，5年级孩子我单独拎出来，概念训练和技能训练需要5/5，也就是花同样多的时间下去，我要对此特别解释一下。这里并不表示对于5年级的孩子，犯了大量计算错误，我反而比较忽视概念训练，注重技能训练，而是在告诉你，5年级的孩子还发生这种问题，说明从1-4年级家长都没能有效弥补孩子基础不够的问题，不管是家长不够重视，还是方法问题，总之这里存在很大的漏洞，需要家长和孩子花成倍时间去解决它，也就是说，本来1-4年级你花一个小时解决的问题，到了现在，你恐怕需要花两个小时来解决。 也就是说，对于5年级，还出现大量计算错误未能解决，你的概念训练和技能训练所花时间都会远远大于1-4年级，那么此时，概念和技能已经是双双都缺失的情况下，不能厚此薄彼，就需要两手都横抓，而且，此时比例其实已经是次要问题，是否以一定频率坚持训练才是重点，这个时候无论家长还是孩子，都会感觉到前所未有的困难，只不过这对于初中要面临的更大挑战来讲，你只能硬着头皮扛下来，因为如果你五年级都不能解决这样大面积的错误问题，那么初中学习将更为困难。 对于偶尔出错的类型，请家长阅读第三部分，我具体详述。 第二部分： “概念训练”的核心是什么？ 在前面的部分，我已经对概念理解方面的训练进行了解释，并简称为“概念训练”，重点要突出的是，孩子在某些方面的概念不清，导致他们在计算上错误频频。 比如低年级：如果不能很好理解集合概念，理解整体部分的逻辑，那么对于带括号的运算就会十分困难；如果孩子对于位值不够理解，不熟悉两位数的构成（数量的概念实际没有理解到两位数），那么他们在进行两位数退位减法运算时，也必定错误重重。 很多时候，成人以为，训练孩子记住竖式运算的步骤，多练习，就能解决了，看上去有些时候的确也奏效了，但是要知道，孩子在数概念，运算原理上的这部分缺失被你用强行记忆强化训练的方式掩盖了，两位数加减还看不出什么，其简单程度还在孩子记忆可以承受的范围内，但是这种忽视基础的盲目刷题的方式，却损害了孩子逻辑的发展，如果你一次次采用这种方式，那么最大的危害其实是，孩子对数学学习产生错误的理解，从此思维方式就偏离正确的发展轨道了，会离开数学思维越来越远。 再比如中高年级：乘除法的原理，运算律没有掌握透彻，往往是因为囫囵吞枣，在最初概念层面就没有理解清楚，比如交换律是怎么来的，分配律又是如何来的，乘法与加法的关系是什么，孩子没有经历这些概念层面的推演训练，也没有人从具体到抽象，引导孩子有完整的思考，分析，概括归纳，只是一股脑儿把口诀公式灌输给孩子，“背出来就可以了”，那么显然，这样做的结果就是，孩子在高年级就会发生各种计算问题，整数运算的时候没有弄清的概念，到了小数运算就会非常混乱，分数运算更不用说了。 那么概念训练怎么进行呢？这部分其实是我数学微课的重点，除了通过周期性课程来进行概念递进式辅导，有关于“进退位”，“加脱括号”，“运算顺序”，“带余数除法”，“混合运算”，“小数运算”我都有相应的专题补充课程，这里不再详述，大家也可以通过我过去的公众号文章来学习这部分的内容。 这里我举两个简单的例子： 关于“凑十”，它不应该是背出来，而是孩子通过分解数字，观察规律，自己总结出来的，发现加法中此消彼长的规律，发现算式之间的关系，这里的概念涉及的是“守恒”，“集合”，“整体部分”。我在一阶段课程中，会通过5-6堂课，来提供不同的游戏，从实物到算式，以具体到抽象的方式进行训练。 关于“乘法”，它更不应该是先背再讲乘法。都没有开始学习乘法，如何就去背口诀呢？显然这种颠倒的教学，是造成很多孩子对乘法一知半解的根源。要补乘法原理，我在二阶段课程中，通过了两个周期来讲原理，从乘法与加法的关系，到乘法本质上与加法的不同，从乘法此消彼长，到补充原则，概念不断深入，乘法口诀表也会利用，但不是背诵，而是进行趣味拆分，通过拆分，关联不同的乘法算式，观察关系以及规律，让孩子自己总结，自己推算，可以融入结合律，分配律，充分理解运算的法则，如果家长根据我课程中的方法进行，也就2-3周可以完全掌握，比起一个暑假都在背乘法口诀表，最后还不熟练，是不是用概念训练的方法会更有效呢？ 总结“概念训练”的特点就是：通过具体例子，创设不同情景，呈现认知冲突，从而让儿童在引导中思考，观察比较，总结规律，自我表达，并把这种规律迁移到计算中，掌握运算律的本质。 第三部分： 如何进行“技能训练”？ 当孩子完成了概念训练，理解了原理，是不是就够了呢？大家回顾前面的分类表，无论是哪一种类型的错误，我们都需要一定配比的概念训练和技能训练两者是缺一不可的。 那么“技能训练”应该如何进行呢？ 首先我要大家再次回顾前面的定义：它包含了逻辑推理，也就是说运算的技能训练一定包含逻辑的训练。 我举一个例子，学校最初对计算的要求是能够写“递等式”，也就是把运算的过程一步步写出来，尤其是进行简便运算和巧算的时候，过程错误即便答案正确，也是错误。为什么呢？这里自然强调的是运算的逻辑正确不正确，合理不合理，高效不高效。 如果一个高年级的孩子你发现他一道复杂的计算题错误了，你是不是要首先看看他的过程，是错在什么地方？是打草稿的时候字太潦草，看错了，还是脱括号的时候运算符号搞错了，两者是天壤之别，对应的训练自然也是不同的。 所以“技能训练”其实是完全因人而异的，不同的孩子，你提供的题目也是完全不同的，不可能用同样一套题目，给全班孩子做，多刷几套卷子，所有人都提高了，这种时候，针对性的训练才是孩子最需要的。 那么家长可能就要说了，怎么进行针对性训练呢？我们不知道如何进行啊～ 这里我给家长们概括出了四种技能训练的模式，我来一一解释。 第一种模式：纯口头练习 这比较适合1-2年级孩子，刚刚学习加减或者个位数相关的乘除运算，我们可以通过让孩子口头“说题”，让孩子把自己的思考过程，通过有逻辑的方式，一句话接着一句话地把答案做出来。 我来模拟两个例子： 17+39=？ 第一种方法：17+39就等于20+40再-3-1，20+40等于60，-3-1就相当于-4，所以60-4就等于56。 第二种方法：17+39就等于10+30，再加7加9，等于40再加7加9，7+9等于16，所以40+16就等于56。 25*16=？ 第一种方法：16分成4*4，所以25*16就等于25乘4再乘4，25*4等于100，所以100*4，最后等于400。 第二种方法：25乘16等于25乘括号20-4，也就等于25*20，再减去25*4，25*20等于500，25*4等于100，所以结果就是500-100，等于400。 以上两个例子，我分别用了两种方法来模拟孩子的口述，这并不是标准答案，而是在告诉你，如果你进行纯口头练习，那么一道题目至少让孩子 用两种不同的思路来推演计算，这是其一；其二，你需要训练的是孩子能够进行连续思考的能力，而不是讲了一半，忘记自己讲到哪里了？ 口头练习可以有效避免孩子因为盲目刷题而对计算产生厌烦，通常一个训练周期内，你保持每天10-15分钟，就会奏效，特别有利于1-2年级孩子，初步接触计算时候的提高训练。 那么口头练习不适合哪种情况呢？ 孩子对于加脱括号不熟悉，对数字拆分后，应该如何写算式总是会搞错，混合运算的时候不知道如何处理顺序等等，这些问题都体现在孩子不擅长算式表达，还没有掌握算式（符号）的运算方式，那就需要用笔头训练的方式进行。 第二种模式：口头练习+笔头练习 这种方式适合于2-3年级，开始接触大数运算，运算步骤增多，很难完全通过口头训练的方式进行的孩子。 家长可以安排一天口头一天笔头，也可以安排一天里口头和笔头混合进行，也可以连续两天口头再进行一天笔头综合训练。 这里笔头的练习可以难于口头练习，但两者最好是有针对性的，也就是如果在练习两位数乘法，那么口头练习可以进行10-30范围内的数，而笔头练习则可以大于30，顺序也是，先进行口头，目的是先让孩子熟悉逻辑推演，并且你有机会对其进行立即纠正，在简单层面疏通后，你可以让孩子通过笔头来强化这部分的逻辑，以便达到熟练运用的程度。 第三种模式：口头练习+笔头练习+口头抽查 这种方式比较适合于孩子思维固化，学习教按部就班，习惯于记忆套路。那么单纯口头练习，加笔头练习，都可能达不到很好效果，因为孩子可能都在强行记忆，你可能也会发现孩子口头讲述的时候，总是用那么1-2种方法，很少灵活应变。 那么你有一种办法来打断他这种强行记忆，迫使他进行有效思考，那就是“口头抽查”，意思是，如果孩子做了5道题目，你至少抽查一道题目：抽查的时候，直接把这道题目单独再写出来，不让孩子看原来的计算或者草稿，而是立即口头讲述他是如何思考的；你也可以指定要求孩子用某种方法来解题，或者要求他使用他从未使用过的方法进行计算。 口头抽查的目的是打破孩子的惯性，让孩子有意识跳出固有的模式，进入到具体题目具体分析的独立思考环节中。 你要灵活采取这种方式，适当给予提示，及时鼓励，对于思考有惰性的孩子来讲，是会比较有效的。 第四种模式：纯笔头练习 这种模式比较适合于高年级，较为复杂的混合运算，包括分数运算等等，这种时候，其实我们是需要把问题拆解的，大部分这种时候遇到的计算问题，是你需要跳脱出此类题目，通过回到简单运算上，加强基础，再回到类似的复杂计算中进行训练来达到目的的。 所以就复杂计算本身而言，并不适合口头进行，而口头抽查也只能针对复杂运算中的某个环节来进行，有必要的话，仍然要跳出本道题目，另立主题来进行训练。 家长一旦理解上述模式，你可以灵活变通地采用。 另外一种纯笔头练习，比较适合考前突击强化，比如针对性做考试可能会考到的类型题目，连续做一套计算题，并且是在孩子有准备的，以模拟考的心态来进行练习的时候，这种纯笔头练习更适合看成是一种应试技巧的训练，以及心理素质的训练。它不宜过多过频，否则反而起到相反作用。 根据上述四种模式，针对前面三种错误类型之一的：偶尔错误。 家长就可以采取这样的程序： 1）订正完后，抽查错题的解题过程，让孩子口述逻辑； 2）追加一道类似题目，让孩子立即做出来（口头或笔头都可以）； 3）判断孩子的问题在哪里； 4）概念不清，按照错误类型二处理； 5）概念逻辑都清楚，可以不必处理，看后续情况； 6）再次发生类似问题，按照错误类型二处理； 7）技能训练根据孩子情况选择上述四种模式之一或混合使用。 第四部分： 如何出题是进行训练的关键 这部分，我要来谈谈，题目本身。 在最开始，我说过：刷题不是训练。 所谓刷题，意思就是不管三七二十一，一份份练习刷，一张张卷子做～之所以它不被我认可为是一种“训练”，是因为它毫无针对性可言，可能100道题目做下来，也许就5道题目有针对性，但由于分散，并没有紧紧相连，于是也没有让孩子思维上把这些题目与自己的错误关联起来，更没有在某项技能上进行一定程度重复，所以你可能会发现每天刷100道，孩子可能只是变化了一点点，甚至完全没有变好，反而更差了。那些每天给孩子做300道计算题的家长，我就更不知道用什么语言来形容了。 所以，训练有一个关键点：你需要针对性给孩子提供题目。 如果孩子总是错两位数退位，你让孩子拼命做两位数加法；如果孩子总是乘除混合运算搞错，你给的题目大多数都是加乘混合，有意义吗？ 这完全是在浪费时间。 如果再细致一点谈，如果你发现孩子总是搞不清楚整10数/整百数的乘除运算，那么你可能就要出类似20*30，60*200，乃至到450*20，320*50这样的题，通过来回调整整十数与整百数出现的位置，复杂程度来进行训练。 如果你发现孩子乘法运算时，不会巧算，是因为他缺少对某些特殊数字的关联，那么很简单，你提供多一些这些特殊数字关联的题目，比如：25/4/100，125/8/1000，12/5/60等等。 你提供的题目不需要多，但是要从孩子当前没有问题的部分开始，让孩子运用推理，推理到她还没有完全熟悉的部分，进而运用这部分的推理，进行变化的练习，练习部分要遵循从简单到复杂，从当前特别需要锻炼的单一的运算，到结合其他技能的运算。 比如我曾经就给家长提供过这样的训练方案（一天的）： 4＊25＝100 8＊125＝1000 上面两个算式，已经知道答案了，请孩子自己推理一下，如何从上面的算式推理到下面这个算式。 推理完，要对这两个算式中涉及到的两对数字的特殊性要有深刻印象，然后尝试做下面题目： 64*125＝ 25*32*125＝ 125＊80＝ 125*3＋125*5＝ 25*7－25*3＝ 为什么要推理呢？推理能够加深孩子新旧技能之间的联系，从而不单纯依靠记忆，而是把新的知识技能整合到自己的体系中。为什么要提供不同计算形式的练习呢？是为了让孩子把刚刚的推理进行扩大运用，同时又可以从单一运用，到结合其他技能一起运用还不会造成混乱。 当然这个例子是家长已经在跟着课程进行系统训练的过程中，我提供的一次辅导而已，真正的技能训练，包含了： 1）分析清楚孩子的问题在哪里 2）提供概念训练为前提 3）试探性练习以找准孩子的问题 4）不断尝试并进行微调 也就是说，训练的过程肯定是一个变化的过程，你不可能预先设计好十套题目，放在那里，不管发生什么，你都让孩子去做这十套练习。 你也不可能买一些练习册，训练题，不加挑选地就让孩子按照页码一页页做下去。 这些都不叫训练，这些就是单纯刷题，就是题海战术，是最不动脑的方式，这样的辅导如果有效，那也是撞大运，或者建立在孩子浪费了十倍的时间来获得一成的效果，效率极其低下，以这种低效的方式运作，又怎么可能收获高级的数学思维呢？ 很显然，如果小学就如此，那么中学更不可能有什么突破了。 第五部分： 关于训练的“题量”设定 训练的方法，形式都介绍了，那么每天要做多少题目呢？这可能是家长最大的疑问了。“大陆老师不支持刷题，但是说要做练习，到底应该做多少题目？” 这里我可以提供大家一个数据：针对小学生而言，计算一天不需要超过二十题，通常我认为比较合理的是3-5题。对于一年级个位数运算方面，更适合一次通过口头出题不超过10题（根据孩子每一次回答，来出下一道题目，使之形成关联），笔头一次性做20题即可。 就时间上来讲，计算训练一次不要超过30分钟，一年级孩子更应该控制在20分钟内（这里包括了概念训练）。 如果按照8/2的分配原则，那么30分钟就意味着24分钟概念训练，6分钟技能训练。 如果按照6/4的分配原则，那么30分钟就意味着18分钟概念训练，12分钟技能训练。 你可以理解为，你需要把问题拆分足够细，在一段时间里，每天持续进行（不要超过两周），保证每次训练足够聚焦，量又不多，每一天都能够在前一天的基础上有所进阶或深入挖掘，这样才是有效的训练。 在我即将结束今天的话题之前，我不得不再次提醒家长们，本文只能作为一种方法论的观点，来举例表达何为训练，如何训练，并且聚焦在小学生的计算能力提高上。其中的数字，请家长不必纠结，不要问我：“大陆老师，如果按照8/2分配的话，技能训练只有6分钟太少，是不是可以10分钟？”这不是重点，具体实施，大家各自调节，你要看的不是绝对数据，而是我设计它的思路，通过比较相互之间的不同，理解其中的关系和层级，重要的是，你要落实到实践中，只有实践才能告诉你如何进行调节最符合你的孩子。 |
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