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在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）． （1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC的长； （2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答： ①tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由； ②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长． 考点分析： 相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形。 题干分析： （1）由勾股定理求PB，利用互余关系证明△APB∽△DCP，利用相似比求PC； （2）tan∠PEF的值不变．过F作FG⊥AD，垂足为G，同（1）的方法证明△APB∽△DCP，得相似比PF/PE=GF/AP=2，再利用锐角三角函数的定义求值； （3）如图3，画出起始位置和终点位置时，线段EF的中点O1，O2，连接O1O2，线段O1O2即为线段EF的中点经过的路线长，也就是△BPC的中位线． 解题反思： 本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形．关键是利用互余关系证明相似三角形． |
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