由2020年全国高中数学联赛一试第11题谈解析几何中的暴力美

      解析几何是代数的重要内容，是高考和竞赛的重点和难点，解题的核心思想是数形结合，方法是坐标化，简而言之几何条件代数化。当然说起来简单做起来难，处理问题的技巧，变量的引入，方程的处理等等都需要积累经验，所谓知之易，行之难。解析几何的问题解决方法里，往往都有暴力解法，所谓的暴力实际就是直接将几何条件坐标化，得到方程关系，进而处理问题，一个字“硬”。有些题“硬”算不失为好方法，有些题“硬”算便走入歧途，迷失自我……笔者以近两年的全国联赛试题中的解析几何为例，谈谈解析几何中的暴力美。

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分析：新闻越短事越大，条件越简题越难。几何条件就是“等腰”和“直角”，三个点在曲线上， 引入3个参数表示坐标，两个几何条件对应两个代数方程，理论上消元后把三角面积表示为一元函数进而求解最值，作为一试压轴，好算吗？标准答案给的方法是借助向量使得方程关系简洁一些，并且巧妙的借助于不等式求最值，并未消元，妙不可言却只能敬而远之，下面笔者先尝试了暴力求解．

总结：在这里不给出标准答案的方法了，相对于标答的方法，这种暴力解法应该是更多学生的选择，但方程如何消元，函数最值如何求，作为压轴题还是有很大难度．所以提高计算能力，领悟最值的处理技巧至关重要．

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分析：本题关键是如何刻画圆和抛物线相切，从方程的角度入手，可以联立圆与抛物线的方程，也可以找出公切线，通过公切线的桥梁建立方程关系；从函数的角度，事实上刻画相切可以通过圆心到抛物线的距离，根据图形距离这个函数取到最小值时对应的点P就是两个二次曲线的相切处．通过两个思路可以衍生出很多方法，笔者之前探究过这道题目，给过三个方法：2019年全国高中数学联合竞赛一试第10题的思考，有兴趣读者可以参看，下面尝试试是否能暴力求解．

总结：做这道题一上手也许都会尝试联立抛物线和圆的方程，发现四次方程然后望而生畏，悬崖勒马．也有硬着求解而不得解，可谓壮志未酬，身陷囫囵．所以方程的处理能力也是解决圆锥曲线的利器．

     所以想要“硬”算，使用暴力，没有金刚钻是不行的。解析几何问题的解决除了领悟思想和方法，还要实践技巧和积累经验，培养数学运算的素养。

  感谢学生王恒，刘南辉在解题中的帮助．