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相似的题目是相对来说比较难的。 不过中考命题的趋势依然是降低难度，倾向于考能力与素养。 本篇介绍的是武汉市今年中考数学的倒数第2题。算是小压轴。难度中等偏上一点点。 题目中的模型就是典型的共顶点的两个相似三角形。可以看出旋转缩放产生的相似三角形。 【中考真题】 （2020·武汉）问题背景 如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE； 尝试应用 如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，AD/BD=√3，求DF/CF的值； 拓展创新 如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2√3，直接写出AD的长． 【分析】 题（1）已知两个三角形相似，那么可以得到对应边成比例且对应角是相等的。 根据对应边成比例且夹角相等即可证明结论。 题（2）难度不大，因为给出了三角形中的角度，所以所有边的比例关系都可以确定出来。那么结论就不难得到了。 本题主要考查特殊角的解三角形问题。利用特殊角得到边的比例关系。 题（3）难度略大。似乎没有什么思路。 不过观察题（1）和（2）发现它们的图形是类似的。所以我们可以在前面的基础上面构造类似的模型进行求解。 构造两个相似的三角形，△ABC∽△ADE。然后可以得到BDE三点共线。连接CE。 根据题（1）的相似可以得到BD/CE=4/2√3，然后就可以得出BC、BD、CD和CE的比值，然后还得到它们与DE的比值。 进而得到DE：BC=√5:4.那么AB与AD的比值也知道了。所以AD就算出来了是√5。 【答案】问题背景 证明：∵△ABC∽△ADE， ∴AB/AD=AC/AE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，AB/AC=AD/AE， ∴△ABD∽△ACE； 尝试应用 解：如图1，连接EC， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°， ∴△ABC∽△ADE， 由（1）知△ABD∽△ACE， ∴AE/EC=AD/BD=√3，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE， 在Rt△ADE中，∠ADE＝30°， ∴AD/AE=√3， ∴AD/EC=AD/AE×AE/CE=√3×√3=3． ∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC， ∴△ADF∽△ECF， ∴DF/CF=AD/CE=3． 拓展创新 解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM， ∵∠BAD＝30°， ∴∠DAM＝60°， ∴∠AMD＝30°， ∴∠AMD＝∠DBC， 又∵∠ADM＝∠BDC＝90°， ∴△BDC∽△MDA， ∴BD/MD=DC/DA， 又∠BDC＝∠ADM， ∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠ADC， 即∠BDM＝∠CDA， ∴△BDM∽△CDA， ∴BM/CA=DM/AD=√3， ∵AC＝2√3， ∴BM＝2√3×√3=6， ∴AM=√(BM²-AB² )=√(6²-4² )=2√5， ∴AD=1/2 AM=√5． 【总结】 很多题目层层递进，可以用类比是思路进行解题。解法千千万，关键是找到一个合适自己的。 |
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