1 试题内容 请回答下列各题 (1)问题背景: 如图1,已知△ABC~△ADE,求证:△ABD~△ACE. (2)尝试应用: 如图2,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC= ∠ADE=30°,AC与DE相交于点F.点D在BC边上,(AD/BD)=√3,求(DF/CF)的值. (3)拓展创新: 如图3,D是△ABC内一点,∠BAD=∠CBD=30°,∠BDC= 90°,AB=4,AC=2√3,直接写出AD的长. 2 解法分析
①由△ABC~△ADE, 证明∠BAC=∠DAE, AB:AD=AC:AE, ②根据等式性质一, 证明∠BAD=∠CAE, 交换内项位置, 证明AB:AC=AD:AE, 根据相似三角形的判定定理, 证明△ABD~△ACE.
①根据相似三角形的判定定理,证明△ABC~△ADE, ②与(1)同理, 证明△ABD~△ACE, 根据相似三角形的对应边成比例,求出EC=(√3/3)BD, ③根据相似三角形的判定定理,证明△ADF~△ECF, 根据相似三角形的对应边成比例,求出DF:CF=AD:EC=AD:(√3/3)BD=3.
①过点D作AD的垂线,交AB于点E,连接CE,根据相似三角形的判定定理, 证明△BDC~△ADE, ②与(1)同理, 证明△ADB~△EDC, 根据相似三角形的对应边成比例,求出CE=(4√3)/3, ③易证△AEC为直角三角形, 根据勾股定理, 求出AE=(2√15)/3, 在直角三角形ADE中, 根据特殊角的三角函数值, 求出AD=√5. ①过点D作AD的垂线,过点A作AB的垂线,两线交于点E,连接BE,根据相似三角形的判定定理,证明△BDC~△EDA, ②与(1)同理, 证明△ADC~△EDB, 根据相似三角形的对应边成比例,求出BE=6, ③在直角三角形ABE中,根据勾股定理,求出AE=2√5, 在直角三角形ADE中, 根据特殊角的三角函数值, 求出AD=√5. ①在AC右侧作∠CAE=30°,AE与BD的延长线交于点E,连接CE,根据相似三角形的判定定理,证明△ABC~△ADE, ②与(1)同理, 证明△ABD~△ACE, 根据相似三角形的对应边成比例,求出CE=(√3/2)BD, ③设CD=x,则BD=√3x,BC=2x,CE=(3/2)x, 在直角三角形CDE中,根据勾股定理,求出DE=(√5/2)x, 根据相似三角形的对应边成比例得:AB:AD=BC:DE, 即:4:AD=(2x):((√5/2)x), 求出AD=√5. ———— e n d ———— |
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