【原】无穷项和数列极限计算的定积分方法

对于无穷项和数列的极限的存在性，常用的是夹逼定理与定积分的定义法. 这两个方法在使用过程中都属于探索性尝试，很多时候可能需要两个综合使用.

(1) 定积分方法的基本原理

如果f[x]在区间[a,b]上连续，则它在该区间上可积，并有

一个是左和，一个右和. 以上后面两种只是特殊取法，值得注意的是，根据区间△x_k上点的取法的任意性，根据函数内自变量取值的不用还有不同的其他应用形式，同样△x_k也有不同的描述形式。

 (2) 定积分定义均分取端点方法求极限

对于均分的问题：如果遇到n项求和能够在提出1/n以后，还能将剩下的部分写成k/n的函数，则只要将k/n换成x，就可以将其描述成定积分的形式进行计算.

例1【1998数学一】求

【分析】无穷多项求和的问题归根结底就是求数列的极限问题，比如上面的极限可以归结为：

由于

由于

所以有夹逼定理，有原极限就为2/π.

(3) 定积分非均分取端点或内点方法求极限

例2 求极限

【解】：变换极限描述形式，有

考虑区间[1,b]，用分点b^i/n(i=0,1,2,…,n)对区间进行分割，则区间长度为

当n→∞，△x_i→0。因此，由积分的函数取值为右端点，分割为上述形式时，有

所以有

以上是符合我们习惯的端点取值的区间的方法，其实由定积分的定义，区间中间取点的任意性和区间划分的任意性，尤其在区间给定以后，中间取点的任意，容易得到

也为对应区间内的点，所以容易得到以下极限也为以上定积分的结果，即

【注】例2由沈阳工业大学的王海潮同学提供，在他提供的例题及解题过程选择了简化形式，是否可行与正确，以及该例题的其他计算方法希望大家互相交流，通过后台发送更多更好的求解方法。以下是他提供的原始版本！