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一、平面区域的分类 1、X-型区域与简单X型区域 设平面区域D在x轴上的投影区间为[a,b]，如果任取x∈(a,b)，过点(x,0)绘制与y轴同向的直线穿过区域，直线与区域的边界曲线的交点不多于两个，则区域为X-型区域，如图1，图2。 如果直线穿入区域的交点和穿出区域的交点的纵坐标取值，即y的值都有统一的关于x变量的函数关系式，则这样的X-型区域称为简单X-型区域。 简单X-型区域可以用不等式描述为 其中x变量范围的获取可以通过将区域投影到x轴得到；y变量的取值范围通过做与y轴同向的直线穿过区域时，上下边界曲线关于x的表达式。所以，先需要写出上下边界曲线y变量关于x变量的函数描述形式。 2、Y-型区域与简单Y型区域 设平面区域D在y轴上的投影区间为[c,d]，如果任取y∈(c,d)，过点(0,y)绘制与x轴同向的直线穿过区域，直线与区域的边界曲线的交点不多于两个，则把该区域称为Y-型区域，如图3，图4中展示的两个区域都为Y-型区域。 如果直线穿入区域的交点和穿出区域的交点的横坐标取值，即x的值都有统一的关于y变量的函数关系式，则Y-型区域称为简单Y-型区域。 简单型区域可以用不等式描述为 同样，y变量的范围的可以通过将区域投影到y轴得到；而x变量的取值范围通过在y变量的取值范围内任取一点做与x轴同向的直线穿过区域时对应的左右边界曲线方程得到。显然，图3有可能为简单Y-型区域，图4显然不为简单Y-型区域。所以，先需要写出左右边界曲线变量x关于y变量的函数描述形式。 3、平面复杂区域 对于不是X-型区域和Y-型区域的复杂平面区域，可以借助平行于两个坐标轴的直线将它分割成简单类型的区域并；进一步可以分割为简单区域类型的并，如图下面的两个图. 在实际求解问题中，一般采取分割的区域越少越好，当然还需要考虑是否方便写出相应的不等式描述形式，如果不等式描述不方便写出，则既使分割区域块数少，也不能说是一种高效的分割方式。 第一步：画图(画确定积分区域的各边界曲线，根据题意确定区域). 第二步：简化计算(判断积分区域整体，或者经过分割后的部分是否关于坐标轴、原点或y=x直线对称、判断被积函数整体，或者经加减运算拆项的部分是否具有相应变量的奇偶性，借助偶倍奇零与轮换对称性化简计算) 第三步：确定积分区域类型(根据积分区域图形与被积函数特征，确定最终需要计算的积分区域的类型：简单X-型或简单Y-型，如果不是则分割积分区域) 第四步：投影求型限(将积分区域投影到型变量对应的坐标轴上，确定型变量的范围：常值区间) 第五步：画线定余限(在型变量的取值范围内，做平行于余变量对应的坐标轴，并且同向的有向直线穿过积分区域，入点为下限，出点为上限：上下限一般为型变量的函数或者直接为常值) 第六步：余变先积分，最后积型变。 如果不考虑积分计算性质简化计算，则可以概括为以下25字计算过程： 画域图定型 投影求型限 画线定余限 余变先积分 最后积型变 对于已经给出或者选择了次序得到的二重积分累次积分表达式，如果因为被积函数对应先积分的变量不可积的话，则需要改变积分次序。对于这类问题的基本解题思路与步骤与上面给出的二重积分计算步骤一样，唯一不同的是在前面添加一个步骤，确定积分区域边界曲线的步骤：根据累次积分上下限确定积分区域边界曲线，令各积分变量等于各自的上下限即可得到构成积分的边界曲线图形，在根据积分变量大于等于下限，小于等于上限确定的取值范围。对于多个累次积分同时转换，则一次在同一坐标系中画出所有图形，最后在一起考虑。具体步骤参考课件中给出的例题。 (1) 令积分变量分别等于相应积分上下限表达式，得到构成积分区域的边界曲线方程； (2) 绘制边界曲线方程对应的曲线图形，并由积分变量的取值范围确定所围成的积分区域； (3) 判定区域是否为所需累次积分对应的简单区域类型，如果不是，则用平行于坐标轴的直线分割积分区域为所需类型的简单区域； (4) 利用二重积分构建累次积分的步骤与方法，写出简单区域的不等式描述形式，并写出相应区域上的累次积分表达式。 (5) 如果对区域进行了分割，则最终积分结果为各个简单区域上的累次积分之和。 【注】交换累次积分的次序，或者说选择合适的积分次序，不仅仅从积分区域出发选择恰当的积分次序，而且也需要考虑被积函数来确定积分次序，比如被积函数为f(x,y)/sinx/x时，就不能先对x求积分，必须先对y求积分，才有可能计算出二重积分的结果。 参考课件节选：
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