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近几年，关于“瓜豆原理”“捆绑旋转”的试题成为了中考中的热点，网络上关于这方面的文章和话题也很多，今天老王也谈这个问题，会不会有点“拾人牙慧”呢？ 笔者认为：1、“瓜豆问题”仅仅是“轨迹问题”中的一种特殊情况而已； 2、“轨迹问题”推而广之也可看做是“瓜豆问题”。 其实，无论是“轨迹问题”也好，还是“瓜豆问题”也好，究其根本，仍然是要树立“轨迹意识”，进而形成“轨迹思想”的问题。 那么，究竟“轨迹问题”分哪些类呢？又该如何解决呢？以下是老王对“轨迹问题”的一些思考： 一、从轨迹的形成角度来分：定义判定型轨迹和运动型轨迹 轨迹一：定义判定型轨迹——符合某种条件的所有组成的集合 1、到直线的距离等于定长的点的轨迹——直线； 2、到线段的两个端点的距离等于定长的点的轨迹——线段； 3、到角的两边距离相等的点的轨迹——线段； 4、到定点的距离等于定长的点的轨迹——圆（弧）； 5、函数的图像......（超出知识范围，暂不讨论） 6、......圆锥曲线.......（超出知识范围，暂暂不讨论） 7、空间轨迹......球......（超出知识范围，暂不讨论） 轨迹二：运动型轨迹——点动成线 1、平移：把某个点沿着一定的方向平移一段距离所留下的痕迹； 2、旋转：把某个点（或图形）绕着某个点按照一定的方向旋转一定的角度所留下的痕迹； 3、复合运动：.....（超出知识范围，暂不讨论） 二、从轨迹的结果来分——踏雪留痕——轨迹是动点留下的痕迹 轨迹一、直线型轨迹 1、轨迹是直线 2、轨迹是射线 3、轨迹是线段 轨迹二、圆弧形轨迹 1、定点定长与圆——圆的定义 2、定弦定角与圆（同弧所对的圆周角相等） 3、三角形、四边形与圆 三、从轨迹的考察角度来分 1、确定位置型轨迹问题——交规定位法 2、求路径型轨迹问题——有限范围的轨迹 3、求最值型轨迹问题——（1）点点距离（两点之间线段最短——将军饮马）；（2）点线距离（垂线段最短）；（3）点圆距离（连心线） 四、轨迹问题的解决策略 1、运用极端化思想，从某些特殊点、有代表性的点入手（起点、中点、终点） 2、判断轨迹类型。是直线型还是曲线型，是确定位置型、求路径型还是求最值型...... 3、选择合适方法：根据所判断轨迹类型选择不同的应对策略（譬如运用定义、“瓜豆原理”，主从联动来判断轨迹是直线型还是曲线型；运用将军饮马、点线距离及点圆距离来求最值型轨迹问题；运用交规法解决确定位置型等......） ...... 貌似“轨迹问题”也是个说不完的话题啊！咱今天先从轨迹的形成角度探讨下“轨迹问题”，以后随缘了...... 一、轨迹的形成——我从哪里来？我的朋友...... 一颗流星划破宁静的夜空，一支粉笔在黑板上画出美丽的曲线，这是生活中的轨迹...... 这些事实抽象出这样一个数学观点：点动成线。 生活中对轨迹的理解是：一个物体按照一定的条件移动的路径； 数学上对轨迹的理解是：符合某个特点条件的所有点的集合； 数学上常见的轨迹有： 1、到一条定直线的距离等于定长的点的轨迹，是平行于已知直线，且到已知直线的距离等于定长的两条平行线。 如图1，到直线a的距离为定长d的直线是两条直线b和c，其中a∥b∥c，且a和b之间的距离为定长d，a和c之间的距离也为定长d。 2、到一条线段的两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的中垂线。 如图2，到线段AB两个端点A和B距离相等的点是直线MN，其中MN⊥AB，且MN经过AB的中点O。 3、到一个角的两边距离相同的点的轨迹，是这个叫的平分线。 如图3，到∠AOB的两条边OA和OB距离相等的点P，构成了∠AOB的平分线。 4、到一个定点距离相等的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆； 如图4，到定点O（圆心）的距离距离等于定长r（半径）的点，构成了⊙O。 例1 已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，分别求出点P到BC的最小距离和最大距离。 分析：此题属于直线型、确定位置型、最值型轨迹，解决这类题目的首要任务是确定动点P的轨迹，从而最终确定动点P取得最大值和最小值的位置。如图5，到AB的距离为1的点的轨迹是直线l1、l2，到AC的距离为2的点的轨迹是直线l3、l4，则同时符合条件的点有P1、P2、P3、P4四个点（交规定位法），显然，到BC距离最近的点是P1，到BC距离最远的点是P3。 如图6，过点P1分别作P1D⊥AB于D，P1E⊥BC于E，P1F⊥AC于F，过点A作AM⊥BC于M，∵S△ABC=S△P1AB+S△P1BC+S△P1A， ∴1/2×BC×AM=1/2×AB×P1D+1/2×BC×P1E+1/2×AC×P1F,∵△ABC为正三角形，则AB=BC=AC，则P1D+P1E+P1F=AM，又∵P1D=1，P1F=2，AM=4，∴P1E=1，即点P到BC的最小距离为1； 如图7，过点P3分别作P3D⊥AB于D，P3E⊥BC于E，P3F⊥AC于F，过点A作AM⊥BC于M，∵S△ABC=S△P3BC—S△P3AB—S△P3AC,则1/2×BC×AM=1/2×AB×P3D—1/2×BC×P3E—1/2×AC×P3F,∵△ABC为正三角形，则AB=BC=AC，则P3D—P3E—P3F=AM，又∵P3D=1，P3F=2，AM=4，∴P3E=7，即点P到BC的最大距离为7。 总结：对于最值型轨迹问题，首先要确定轨迹类型；然后确定最值问题的类型，是“点点距离”（两点之间线段最短）还是“点线距离”（垂线段最短），还是“点圆距离”（点点的最大值和最小值）；而后根据轨迹类型确定特值特殊点的位置。显然，本题属于“点线距离”。 例2 如图8，已知线段AB＝6，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为_______． 分析：此题属于求路径长的轨迹型问题，则轨迹必在一定的范围内。解决求路径长的轨迹问题的基本策略是：首先是运用极端化思想，找出动点的起点和终点位置，确定动点的运动范围；然后是确定轨迹类型，是直线型轨迹还是圆弧形轨迹，再进行计算。当然，其实还可以找出中点位置，帮助确定轨迹类型是直线型还是圆弧型。 如图9，当点P和点C重合时，分别过点E、F和EF的中G作AB的垂线，垂足分别为M、N、Q，显然AP=1，PB=5，则PN=BN=5/2，PM=AM=1/2，则MN=5/2+1/2=3。∵G为EF中点，根据平行线等分线段定理，则Q为MN中点，∴MQ=NQ=3/2，则AQ=2. 同理，如图10，当点P和点D重合时，分别过点E、F和EF的中G作AB的垂线，垂足分别为M、N、Q，显然AP=5，PB=1，则PM=AM=5/2，PN=BN=1/2，则MN=5/2+1/2=3。∵G为EF中点，根据平行线等分线段定理，则Q为MN中点，∴MQ=NQ=3/2，则BQ=2. 即点P在AB上移动的范围为6-2-2=2.此范围亦限制了点G的移动范围。下来我们要确定的是点G的移动轨迹。如图11，点P为CD内任意一点时，过点E作EH⊥FN于点H，交GQ于点K，易证明四边形EMNH、EMQK、KQNH为矩形，则EM=KQ=HN，易证明GK为△EHF的中位线，则GK=1/2FH，∴EM+FN=EM+FH+HN=EM+HN+2GK=2KQ+2GK=2GQ， 即GQ=1/2(EM+FN）。易证明EM=√3/2AP，FN=√3/2PB，∴EM+FN=√3/2（AP+BP）=√3/2AB=3√3，即点G到AB的距离为定值3√3，∴点G的轨迹为直线型轨迹。结合点G的运动范围，可知点G移动的路径长度为2.
总结：对于路径长型轨迹问题，首先要确定轨迹的极端值，起点和终点，首先限定其运动范围；然后确定轨迹的类型——是直线型还是圆弧形；而后根据轨迹的起点和终点即轨迹类型求出线段的长度或圆弧的长度。再譬如： 例3 如图12，OA⊥OB，垂足为O，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ=6．则动点C运动形成的路径长是______ 解析：此题也属于求路径长类轨迹问题，首先判断点C的特殊位置——起点和
中点，限定点C的运动范围。 如图13，当点Q和点O重合时，此时点PQ的中点C在点C1的位置；如图14，当点P和点O重合时，此时点PQ的中点C在点C2的位置；则点C限定在C1和C2之间运动，如图15。
其次要判断点C移动的轨迹是直线型还是圆弧型。 观察到题目中只有一个已知“量”PQ=6，则点C的路径长度必和PQ的长度有关。如图16，当点P在OA上任意位置时，连接OC，则OC=PQ=3，即动点C到定点O的距离为定值3，故点C的运动轨迹为圆弧型，点C的运动轨迹为以C为圆心，CO=3为半径，圆心角为90°的圆弧。所以点C运动的路径长为。
总结：根据定义，判断动点的轨迹类型是解决这道题目的关键。 例4 （2019年洛阳一模）如图17，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A'处，当△AA'C是直角三角形时，则线段CP的长是 .
分析：此题的一个难点是动点A'的位置不确定。观察到题目中动点A'是点A折叠后留下的轨迹，且动点A'鼻血同时满足两个条件：一是BA'的长度适中等于定长BA的长度等于10；二是要保证△AA'C是直角三角形。此题属于“确定位置型轨迹问题”，所以可以考虑“交规定位法”——如图18，点A'必在以点B为圆心，以BA为半径的圆上；因为△AA'C是直角三角形，可采用“一圆两线”确定直角三角形的存在性问题。点A'必为过点A和点C，垂直于AC的直线和⊙B的交点A'1和A'2，以及以AC为直径的圆与⊙B的交点A'3。显然A'1时，不能成立，则只有∠AA'C=90°和∠ACA'=90°两种可能。
（1）如图19，当∠AA'C=90°时，BD为AA'中垂线，则PA=PA'=PC=AC =4；
（2）如图20，当∠ACA'=90°时，BD为AA'中垂线，则BA=BA'=10，CA'=4，且PA=PA' .设PC=x,则PA=PA'=8-x，在Rt△A'CP中，根据勾股定理构造方程：（8-x）2-x2=42,则x=3.
总结：对于确定位置型轨迹问题，解决问题的基本策略是“交规法”。即首先判断动点的轨迹，再根据目标位置点的特殊性，找出同时符合两个轨迹条件的交点。 好 书 推 荐 点击 抢购
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