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原题 原题：已知函数f(x)=－x^3+3x^2+2，x≥0，f(x)=－x^2·e^x，x<0.若方程f(x)+a=0有两个不相等实根，则实数a的取值范围是？  这是一道函数方程的题，所谓的函数方程题就是将函数f(x)看成一个变量的形式放入一个方程当中。 这样的题看着很难，实际上都有普遍的解法。 无论是将函数f(x)放入到一次函数中还是二次函数当中，都是将函数f(x)单独表示出来，形成函数f(x)和另一个函数之间的关系的问题。 下面就在讲解的过程中来详细的说明该解法。 该题的普遍解法步骤 第一步，将函数f(x)表示出来。 因为方程f(x)+a=0，所以f(x)=－a——将f(x)看成自变量，将f(x)从方程中解出来，这里是一次幂方程，有时候可能遇到两次幂方程，甚至三次幂方程，都可以如法炮制。 这个时候就可以将f(x)=－a看成是函数f(x)与直线y=－a相交的问题了，即将上述的问题就转化成函数f(x)与直线y=－a有两个不同的交点，求实数a的取值范围。 第二步，得出函数f(x)的大致图像。 因为上述给出的是分段函数，所以就分别说明每一段函数的单调性以及端点的极值数或者端点值。 ⒈判断函数f(x)在x≥0上的图形： 因为x≥0，所以函数f(x)=－x^3+3x^2+2，对函数f(x)求导得到一次导数f＇(x)=－3x^2+6x=－3x(x－2)。 ⑴函数f(x)的单调性。 当0≤x<2时，一次导数f＇(x)=－3x(x－2)>0，则此时函数f(x)是单调递增函数； 当x>2时，一次导数f＇(x)=－3x(x－2)<0，则此时函数f(x)是单调递减函数。 ⑵函数f(x)的端点值或者趋近值。 由⑴知函数f(x)是先增后减，所以在x=2处存在极大值，也是最大值，即f(x)max=f(2)=6； 当x=0时，f(0)=2； 当x趋近+∞时，f(x)=－x^3+3x^2+2=－(x^3－3x^2+0·x+2)+4=－+4=－+4，f(x)趋近负无穷。  ⒉判断函数f(x)在x<0上的图形： 因为x<0时，则函数f(x)=f(x)=－x^2·e^x，所有函数f(x)的一次导数f＇(x)=－xe^x(x+2)。 ⑴函数单调性。 当x<－2时，一次导数f＇(x)=－xe^x(x+2)<0，此时函数f(x)是单调递减的； 当x>－2时，一次导数f＇(x)=－xe^x(x+2)>0，此时函数f(x)是单调递增的。 ⑵端点函数值或者极值。 由⑴知，函数f(x)是先减后增的，所以当x=－2处存在极小值，也是最小值，即f(x)min=f(－2)=－4/e^2； 当x趋近负无穷时，－x^2趋近负无穷，e^x趋近0，f(x)=－x^2·e^x趋近于0； 当x趋近0时，－x^2趋近0，e^x趋近1，则f(x)趋近于0. 第三步，综上所述，画出f(x)的整体图形：  如图三所示，就是函数f(x)的大致图形。 所以当直线y=－a在区间[2,6)或者在y=－4e^2时，函数f(x)与直线y=－a有两个不等的实根，即2≤－a＜6或者－a=－4e^2，所以a的取值范围就是{a|－6<a≤－2或者a=4e^2}。 总结 在高中阶段，函数是一个比较大的模块，对函数的要求也就是高中阶段所学的函数的性质：单调性、最大值和最小值、极大值和极小值、周期性、奇偶性、凸凹性。 所以无论该题出现什么样的形式，一般都是在变相的考你这些性质。 例如，上述题目看着很难，但是实际就是要考你函数的单调性和极大值、极小值。 所以在做题的过程中要知道该题是哪种类型题，它能对应要转化成我们学过的哪些知识点上来，转化的形式和方法是什么。 做出该题永远不是目的，目的是通过这道题学会这一类题中存在的方法。 高中数学，函数方程的难题，用这招一分钟解决，好方法塑造差距 函数单调性知识点的总结、讲解和运用 函数的基本性质知识点的总结——期末必考的内容 高中所学的导数公式大全 直线与三次函数有三个不同交点，联立方程吗？太麻烦，这有方法！ 继续阅读（剩余0%） |
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