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我们再看一类题目的思维方法。平面几何是大家公认的难教也难学的一个科目，其主要原因也是平面几何的证明题难以模仿，其证题所使用的思维方法主要是逆向思维、分类思想、筛选思维、发散思维、联想思维、转化思维，其公理、定理体系体现出非常强的逻辑性，而学习方法主要采用的是分类思维（结论分类），如果采用模仿思维来学习，一是难学且学不好，二是最多只能学到一些皮毛。 从平面几何证明题的难度来对掌握的程度分层的话，大致可以分成四层，这四层对思维的要求也是不同的。 第一层次对应的思维方法是模仿思维，对应的题目是简单题，举一个实例就相当于三角形全等的证明最多使用到一次全等，其思维流程图如下：  第二层次对应的是思维方法是先使用分类思维，然后使用筛选思维，所面对的题目已经不是一眼就能够看出其证明方法，如果举一个实例，就相当于三角形全等的证明过程，还是使用一次全等，其思维流程图如下：  第三个层次对应的思维方法是先使用分类思想，从需要证明的结论的角度，对平面几何题目进行分类。然后使用筛选思维，在可能的证明方法中进行筛选。此时如果还是不能完成题目的证明的话，需要使用转化思维才能完成题目的证明，此时所面对的题目可以称为难题了，其难度来自于转化。 如果举一个实例，就相当于三角形全等的证明过程，要使用二次全等，这类的题目特别能够锻炼人的思维能力，特别是对逻辑思维的锻炼有着举足轻重的作用，对今后学习计算机编程也有着特殊的作用。其思维流程图如下：  目前的教材为了降低难度，已经把类似于二次全等难度的题目删除了，从锻炼思维的角度来看，确实太可惜了。我们用一个实例来说明思路的形成以及其合理性。 例1：已知如图：在平行四边形ABCD中，EF是AC延长线上的两点，且AE=CF，EG=CH，求证：AG=CF。  证明：∵平行四边形ABCD ，∴∠BAC=∠ACD 、 AB=CD (1) EF是AC的延长线，可得：∠BAE=∠DCF （2） 已知AE=CF (3) 由（1）（2）（3）可得：△ABE≌△CDF ∴∠E=∠F，又有AE=CF，EG=FH ∴△AEG≌△CFH ∴AG=CH 就这么简单的证明过程，可是思维过程并不简单，其思维过程如下： 我们不妨站在一个不太熟练的学生的角度，来探索一下，需要二次全等才能够证明出结论的题目的思路形成过程，或者说思维流程图的形成过程。 1、 审题得知这是一道平面几何证明题。 2、 看结论知道这道题要证明两线相等。 3、 初步判断不能用简单方法证明，就开始思索证明两线相等的方法有哪些（从知识范围来看：三角形全等、等角对等腰、四边形、园、计算等。属于结果发散思维）。 4、 根据题目条件，初步确定使用三角形全等来解决。证明△AEG≌△CFH（属于筛选思维）。 5、 思索证明三角形全等的方法有哪些（边边边、边角边、角边角、角角边及直角三角形的斜边直角边五种方法，属于发散思维） 6、 初步筛选发现如果采用边边边与边角边这两种方法来证明，只缺少一个条件(前者少AG=CF，后者少∠E=∠F)，就能够完成证明，其它方法缺少的条件都在两个以上暂时不考虑，而边边边中，其中一条边就是需要证明的，也不考虑这个方法，那只能先考虑使用边角边了。在这个证明方法中，缺少角度的相等（∠E=∠F）。 7、 此时，线段相等问题转化成为任何证明两角相等的题型了。（转化思维） 8、 搜索证明两角相等的可能证明方法（从范围来看三角形全等、相似三角形、等腰对等角、四边形、园等知识。属于发散思维） 9、 初步确定使用三角形全等来完成证明过程，既证明△ABE≌△CDF。（筛选思维） 10、思索证明三角形全等的五种方法。（发散思维） 11、筛选可行的证明方法，发现可以使用边角边来完成证明（筛选思维） 12、完成整个题目的证明过程。（全程思路打通了） 从这个思维流程图来看，即便是不能利用三角形全等来完成证明过程，还可以通过等腰三角形、平行四边形、矩形、园等知识来解决，思维形成了一个严密的大网，对学生思维的锻炼效果是非常明显的。 更高一个层次第四个层次，说得通俗一点，就是在前三个层次无法完成的情况下，需要做辅助线才能完成的题。对应的是思维方法是先使用分类思维，然后使用筛选思维，此时还是不能完成题目的证明，需要使用转化思维，如果此时还不能完成题目的证明，就需要添加辅助线（联想思维），创造出定理使用的环境，才能最后把它们证明出来。这样的的题目可以称为真正意义上的难题，其难度来自于转化，更来自于添加辅助线，其思维流程图如下：  平面几何证明题虽然成千上万，但其思维流程只需要使用第四个层次这一个框图就可以完完全全解决。说明站在思维的角度去看平面几何的证明题其脉络是非常清晰的。教书教到这个层次，其境界是非常高的。立体几何的证明题可以如法炮制。 虽然，新课标把这部分内容回避了，但它对学生思维的层次性、多样性、严密性的训练效果是其它内容难以替代的。 其它章节亦可以使用这种方法去进行教学设计。 毕业多年以后，老师教的东西大多数都忘记了，但我们却变得智慧了，说明我们没有忘记的东西，或者说我们留下的东西在起作用，留下的是什么呢？我认为是思维方式、思想方法。这就是教是为了不教。 注：此文原名《教书就是教思维》，不知何故，被收录在百度文库、豆丁网。* |
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