黄金分割问题在实际生活中经常出现。
中高考中也偶尔会涉及,但是考查的不是很多。
本文选自2020年徐州市中考的倒数第2题中考查正方形的折叠问题。同时涉及了相似与黄金分割比的问题。 【中考真题】 (2020·徐州)我们知道:如图①,点B把线段AC分成两部分,如果,那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为. (1)在图①中,若AC=20cm,则AB的长为 cm; (2)如图②,用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作:对折正方形ABCD得折痕EF,连接CE,将CB折叠到CE上,点B对应点H,得折痕CG.试说明:G是AB的黄金分割点; (3)如图③,小明进一步探究:在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E(AE>DE),连接BE,作CF⊥BE,交AB于点F,延长EF、CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时,E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点.请猜想小明的发现,并说明理由. 【分析】 题(1)直接把AC的长度代入比例中即可得到AC的值。 题(2)需证明点G是AB的黄金分割点,则只需求出BG的长度即可。利用折叠可以得到CG平分∠FCE,那么就可以利用面积法得到FM与EM的比值等于CF与CE的比值,进而得到MF的长度,即可得到tan∠MCF的值,然后易得BG的长度。 题(3)要使得E、F恰好是黄金分割点,且AD>DE,所以只有一种情况。那么直接连接EF并延长交BC的延长线于点P。 根据黄金分割比得到AE与AF的值,然后利用相似比得到BP的值,结论就不难得出了。 【答案】解:(1)∵点B为线段AC的黄金分割点,AC=20cm, ∴AB20=(1010)cm. 故答案为:(1010). (2)延长EA,CG交于点M,
∵四边形ABCD为正方形, ∴DM∥BC, ∴∠EMC=∠BCG, 由折叠的性质可知,∠ECM=∠BCG, ∴∠EMC=∠ECM, ∴EM=EC, ∵DE=10,DC=20, ∴EC10, ∴EM=10, ∴DM=1010, ∴tan∠DMC. ∴tan∠BCG, 即, ∴, ∴G是AB的黄金分割点; (3)当BP=BC时,满足题意. 理由如下: ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC,∠BAE=∠CBF=90°, ∵BE⊥CF, ∴∠ABE+∠CBF=90°, 又∵∠BCF+∠BFC=90°, ∴∠BCF=∠ABE, ∴△ABE≌△BCF(ASA), ∴BF=AE, ∵AD∥CP, ∴△AEF∽△BPF, ∴, 当E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点时, ∵AE>DE, ∴, ∵BF=AE,AB=BC, ∴, ∴, ∴BP=BC.
【总结】
比例与黄金分割问题,可以考虑利用相似或三角进行转化。
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