【原】例题：如图，已知线段Ad同侧有两点C，D满足∠ACB=∠ADB=60°，∠ABD=90°-1/2∠DBC，求证：AC=AD

证明一：

延长CB，使BE=DB

∵∠ABD=90°-1/2∠DBC

∴2∠ABD=180°-∠DBC

∴2∠ABD=∠DBE

∴∠ABD=∠ABE

∴△ABD≌△ABE（SAS）

∴AD=AE

又∵∠ACB=∠ADB=60°，且∠ADB=∠AEB=60°

∴△ACE等边三角形

∴AC=AE=AD

证明二:

延长DB，使BF=BC，设∠DBC为α，∠DBA为β

∵∠ABD=90°-1/2∠α

  

∴2∠ABD=180°-∠α

又∵2∠β=180°-∠α

∴2∠β+∠α=180°

∴∠β+∠α=180°-∠β

∴∠ABC=∠ABF

∴△ABC≌△ABF（SAS）

∴AC=AF，∠C=∠F=∠D=60°

∴△DAF为等边三角形

∴AF=AD=AC

证明三：

在DB上截取一点G，使AG=AB

  

∵∠ABD=90°-1/2∠DBC

∴2∠ABD=180°-∠DBC

又∵AG=AB

∴2∠ABD=180°-∠GAB

∴∠GAB=∠DBC

又∵∠DHA=∠CHB，∠D=∠C=60°

∴∠DAH=∠DBC

∴∠DAG+∠GAH=∠BAH+∠HAG

∴∠DAG=∠CAB

∴△DAG≌△CAB（AAS）或（ASA）

∴AC=AD