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努力做最好的中小学数学教育公众号 努力做一个最丑的公众号 来都来了，敬请关注“贼叉”，或者直接搜doubimather，逗逼数学人。 更加欢迎置顶。 今天讲课，有个题目很有意思。讲完以后意犹未尽，觉得还是这里详细讲一讲比较好，独乐乐不如众乐乐。 有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数a，只显示不运算，接着再输入整数b后显示 abs{a-b}(表示a-b的绝对值)，比如输入依次输入1,2，则输出的结果就是abs{1-2}=1，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算。 1)若依次输入3,4,5,则最后输出的结果是？ 2)若将1到2015这2015个整数随意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m，则m的最大值是？ 3)若将1到n(n>=3)这n个正整数随意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m，求m的最大值和最小值。 第一问很简单，答案是4. 第二问就麻烦了。因为从学生的角度来说，任意就太可怕了，第一问之所以好做是因为指定了方式。 我们该怎么来思考这个问题？ 一般说来，像这种题目，我们尝试的路线都是从简单到复杂的。2015太多了，我们不妨先少写几个来看看。 首先看一个数1.一个数就没什么好算的，最大最小都是1； 然后输入两个1,2.我们发现最大最小也都是1； 然后输入三个数1,2,3由于是乱序，所以我们理论上有6种输入方式： 1,2,3 1,3,2 2,1,3 2,3,1 3,2,1 3,1,2 我们通过对比，发现事情起了一点变化。当输入三个数字的时候，最大值为2，最小值为0. 那四个数会是怎么样呢？ 理论上排列方式有24种之多，我们需要都写出来么？ 当然不用。 因为输入1,2,3得到的最小值是0，而第四个数4减去的数要尽可能小得到的结果才尽可能大。从这个操作程序上我们可以看出，每次得到的结果都是非负数，因此1,2,3,4能得到的最大值就是4-0=4. 最小值呢？我们知道不管你怎么凑，结果一定是非负的，所以最小值一定不可能比0小。我们把1,2,3,4排成1,2,4,3，得到的结果是0，也就是说1,2,3,4能组成的最大值和最小值就是4和0. 我们进一步可以发现，对于任意连续四个整数x,x+1,x+2,x+3，我们只要排成x,x+1,x+3,x+2，就能让这四个数等于0. 事实上，这个也是我的思考过程。拿到题目我也愣了一下，不过接着就开始写了几个试探，发现连续四个数是很有意思的情况，能够排成操作完之后等于0的情形。 所以如果n=4k的时候，最小值就是0.此时我们只要把1,2,3,4,……4k排成1,2,4,3,5,6,8,7……按照这个规律排下去就能实现。 最大值怎么办？ 我们当然希望被减数越大越好，减数越小越好，因此希望被减数是4k。那前面4k-1个数怎么排列比较好呢？ 考虑到连续四个能凑出0来，所以我们可以从4到4k-1进行排列，变成 4,5,7,6,8,9,11,10……4k-4,4k-3,4k-1,4k-2，这4k-4个数操作完成后得到的结果恰好是0.然后再把1,2,3和4k作用，排成1,3,2,4k,于是最大值是4k. 看到这个结果是很放心的，因为理论上最大就是4k. 分析到这里，我们很自然想到，需要对n按照除以4得到的余数分类。刚才的讨论解决了n被4整除的情况。接下来我们来看n=4k+1的情况。 我们按照1,2,4,3,5,6,8,7……4k-3,4k-2,4k,4k-1,4k+1排列，因为每四个数就得到一个0，此时有最大值4k+1; 而按照2,3,5,4,6,7,9,8……4k-2,4k-1,4k+1,4k,1排列，得到最小值1； n=4k+2时，我们按照1,2,4,3,5,6,8,7……4k-3,4k-2,4k,4k-1,4k+1,4k+2排列，得到最小值为1；按照2,3,5,4,6,7,9,8……4k-2,4k-1,4k+1,4k,1,4k+2排列，得到最大值为4k+1； n=4k+3时，我们按照4,5,7,6,8,9,11,10……4k,4k+1,4k+3,4k+2,1,3,2排列，得到最小值为0；按照3,4,6,5,7,8,10,9……4k-1,4k,4k+2,4k+1,1,2,4k+3排列，得到最大值为4k+2. 我们总结一下:n=4k, m最小0，最大n n=4k+1, m最小1，最大n n=4k+2，m最小1，最大n-1 n=4k+3，m最小0，最大n-1. 在这个过程中，从较小的数开始试这是常用的技巧，初学者需要细心体会。 关注贼老师 好好学习 天天向上 |
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