 前言 PREFACE 姜胜昊老师 专注初中数学压轴 定时更新最干货的初中数学压轴题型讲解。如需要本堂内容的word电子版本，请添加微信：QGCZSXYZ（全国初中数学压轴） 原理证明：如图：若直线FG与矩形交于DE两点，与坐标轴交于F，E点。则DF=EG，EF=DG 变式：若直线AD交反比例与A，D两点，与坐标轴交B，C两点，则AB=DC 典型例题：1．（2017·济南）如图1，▱OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC＝3，A（2，1），反比例函数y＝k/x（x＞0）的图象经过的B． （1）求点B的坐标和反比例函数的关系式； （2）如图2，直线MN分别与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点，若点O和点B关于直线MN成轴对称，求线段ON的长； （3）如图3，将线段OA延长交y＝k/x（x＞0）的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，请探究线段ED与BF的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）利用平行四边形的性质求出点B的坐标即可解决问题； （2）根据两直线垂直的条件，求出直线MN的解析式即可解决问题； （3）结论：BF＝DE．如图3中，延长BA交x轴于N，作DM⊥x轴于M，作NK∥EF交y轴于K．设ON＝n，OM＝m，ME＝a．则BN＝k/n，DM＝k/m．由△EDM∽△EBN，推出EM/EN=DM/BN,即a/(m+a-n)=(k/m)/(k/n)，可得a＝n，由△KNO≌△DEM，推出DE＝KN，再证明四边形NKFB是平行四边形，即可解决问题； 【解答】解：（1）如图1中， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AB＝OC＝3， ∵A（2，1）， ∴B（2，4）， 把B（2，4）代入y＝k/x中，得到k＝8， ∴反比例函数的解析式为y＝8/x． （2）如图2中，设K是OB的中点，则K（1，2）． ∵直线OB的解析式为y＝2x， ∴直线MN的解析式为y＝﹣1/2x+5/2， ∴N（0，5/2）， ∴ON＝5/2． （3）结论：BF＝DE．理由如下： 如图3中，延长BA交x轴于N，作DM⊥x轴于M，作NK∥EF交y轴于K．设ON＝n，OM＝m，ME＝a．则BN＝k/n，DM＝k/m． ∵△EDM∽△EBN， ∴EM/EN=DM/BN， ∴a/(m+a-n)=(k/m)/(k/n),可得a＝n， ∵NK∥EF， ∴∠KNO＝∠DEM，∠KON＝∠DME＝90°，ON＝EM， ∴△KNO≌△DEM， ∴DE＝KN， ∵FK∥BN，NK∥FB， ∴四边形NKFB是平行四边形， ∴NK＝BF， ∴BF＝DE． 【点评】本题考查一次函数，反比例函数、平行四边形，全等三角形，相似三角形等几何知识结合在一起，综合性比较强，要求学生有较强的分析问题好解决问题的能力． 同步练习：（2016·孝感）如图，已知双曲线y＝k/x与直线y＝﹣x+6相交于A，B两点，过点A作x轴的垂线与过点B作y轴的垂线相交于点C，若△ABC的面积为8，则k的值为 5． 【分析】根据双曲线和直线的解析式，求出点A、B的坐标，继而求出AC、BC的长度，然后根据△ABC的面积为8，代入求解k值． 【解答】解法一： 解： y=k/x y=-x+6 解得：x1=3-√(9-k) y1=3+√(9-k) x2=3+√(9-k) y2=3-√(9-k) 即点A的坐标为（3-√(9-k)，3+√(9-k)， 点B的坐标为（3+√(9-k)，3-√(9-k)）， 则AC＝2√(9-k)，BC＝2√(9-k) ∵S△ABC＝8， ∴1/2AC·BC＝8， 即2（9﹣k）＝8， 解得：k＝5． 解法二： 解：设点A（x1，6﹣x1），B（x2，6﹣x2） ∵双曲线y＝k/x与直线y＝﹣x+6相交于A，B两点， ∴方程k/x﹣（﹣x+6）＝0有解， 即：x²﹣6x+k＝0有2个不相同的实根， ∴x1+x2＝6，x1x2＝k， ∵AC⊥BC ∴C点坐标为（x1，6﹣x2） ∴AC＝x2﹣x1BC＝x2﹣x1 ∵S△ABC＝8， ∴1/2AC·BC＝8 ∴1/2（x2﹣x1）²＝8 整理得：（x1+x2）²﹣4x1x2＝16， ∴36﹣4k＝16 解得k＝5， 故答案为：5． 解法三：根据对称性设A（a，b），B（b，a）， 由题意：S△ABC＝1/2（a﹣b）²＝8， ∴a﹣b＝﹣4． 又∵a+b＝6， ∴a＝1，b＝5， ∴k＝5． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是把两个函数关系式联立成方程组求出交点，然后根据三角形的面积公式求解． 姜老师关于中考数学压轴知识点——关于反比例函数相关题型讲解内容（感兴趣的同学可以关注一下）： |
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