2013年的一套模拟试题，有点老，但是有价值

类型二　利用函数与方程思想解决数列问题

(浙江省各校新高考研究联盟2013届第一次联考)已知等比数列{an}满足an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式Sn>kan－2对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．

【思路点拨】　(1)由n＝1,2得出两特殊等式，可求得a和q，问题即可解决；(2)由(1)可求出Sn，尽而求出k与n的不等关系，构造关于n的函数，利用函数性质求解．

【解】　(1)设等比数列{an}的公比为q，

∵an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*，

∴a2＋a1＝9，a3＋a2＝18，

∴q＝a3＋a2a2＋a1＝189＝2，

∴2a1＋a1＝9，∴a1＝3.

∴an＝3·2n－1，n∈N*.

(2)由(1)知，Sn＝a11－qn1－q＝31－2n1－2＝3(2n－1)，

∴3(2n－1)>k·3·2n－1－2，∴k<2－13·2n－1.

令f(n)＝2－13·2n－1，则f(n)随n的增大而增大，

∴f(n)min＝f(1)＝2－13＝53，∴k<53.

∴实数k的取值范围为(－∞，53)．

【题后感悟】　(1)数列一般包含着多个基本量，如首项、公差(公比)、项数、前n项和等．在知道一些量求其他未知量时，通常用方程的思想考虑．

(2)数列的通项公式、前n项和公式是特殊的函数，对于数列的最值问题往往需要构造函数，利用函数的单调性来解决最值问题，这也是函数思想在数列中的具体应用．

2．(1)(2013·高考课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　　)

A.13 B．－13

C.19 D．－19

(2)已知函数f(x)＝\a\vs4\al\co1(\f(13))x，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，则an的最小值为(　　)

A．－1 B．1

C.23 D．－23

类型三　利用数形结合讨论方程的解

(2013·高考天津卷)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

【思路点拨】　将函数零点视为两个函数图象的交点，分别画出函数图象，利用数形结合求解．

【解析】　令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，

可得|log0.5x|＝\a\vs4\al\co1(\f(12))x.

设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝\a\vs4\al\co1(\f(12))x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．

【答案】　B

【题后感悟】　用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．

3．设函数f(x)＝x2＋bx＋c，x≤0，2，　　　　x>0.)若f(－4)＝f(0)，

f(－2)＝－2，则关于x的方程y＝x的解的个数为(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

类型四　运用数形结合思想求解参数的范围

及最值问题

(1)(2013·高考重庆卷)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　)

A．6 B．4

C．3 D．2

(2)(2013·长春调研)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．

【思路点拨】　(1)求|PQ|的最小值，转化为求圆心到直线的距离．

(2)作函数f(x)，g(x)的图象，利用数形结合求解．

【解析】　(1)如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.

(2)

如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．

【答案】　(1)B　(2)[－1，＋∞)

【题后感悟】　(1)数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化为代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论．

(2)在解含有参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致演算过程繁琐冗长．如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会被快速解决．

4．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)

B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)

C．[1,2]

D．(－∞，1]∪[2，＋∞)

1．函数与方程思想在高考试题中主要以六个方面思考和切入

(1)构造等式关系，从函数或方程角度，选择主从变量，直接找到函数性质或利用二次方程探求出函数性质，再利用函数性质和图象解题；(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图象与性质可以解决；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数n的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)＝(ax＋b)n(n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数，结合赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．

2．数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点

(1)集合的运算及Venn图；(2)函数及其图象；(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线；(5)对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；(6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图象求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用．

3．运用以上两种数学思想解题时注意事项

(1)运用函数思想时注意函数的定义域；(2)运用方程思想时注意方程解的合理性；(3)在解答题中数形结合思想是探究解题的思路使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证．