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如图：正方形ABCD中，E、E分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°。  结论1:EF=BE+DF 结论2:C△CEF=2AB 结论3:S△AEF=S△ABE+S△ADF 结论4:AE，AF分别平分∠BEF，∠DFE 方法：将△ADF顺时针旋转90°，得到△ABF‘ 证明：△AEF‘≌△AEF即可。  结论5:AI=AB（△AEF高为定值）由结论3可证明。  结论6:MN²=BM²+DN² 方法：将△ADN顺时针旋转90°，得到△ABN‘ 证明：△AMN‘≌△AMN即可。  结论7:CE=√2DN，CF=√2BM，EF=√2MN 方法：△AEC～△AND，△AFC～△AMB相似比=√2⇒△AEF～ANM 结论8:S△AEF=2S△ANM（面积比=相似比平方）  结论9:△ANE，△AMF均为等腰Rt△ 方法：易证△AMN～△BME⇒△NEM～△ABM ⇒∠NEM=∠ABM=45° 易证△AMN～△DFN⇒△MFN～△ADN ⇒∠MFN=∠ADN=45°（或用四点共圆，但教材有局限） 结论10:字母型、蝶型相似：△AMN～△BAN～△DMA～△BME～△AFE～△DFN 结论11:AB²=BN.DM 方法：由结论9，△BAN～△DMA可得 结论12:CE.CF=2BE.DF 方法：△BME～△DFN⇒BE.DF=BM.DN① 由结论7得： CE.CF=√2DN.√2BM=2BM.DN② 结论13:A、B、E、N四点共圆，A、M、F、D，四点共圆，M、N、F、C、E五点共圆。  结论14:BN-DN=√2BE，DM-BM=√2DF 方法：BN+DN=√2(BE+CE) 由结论7⇒BN+DN=√2(BE+√2DN) ∴BN+DN=√2BE+2DN⇒BN-DN=√2BE。 同理：DM+BM=√2（DF+CF） =√2(DF+√2BM) ∴DM+BM=√2DF+2BM ⇒DM-BM=√2DF  结论15:当CE=CF，△AEF面积最小 方法：作△AEF外接圆，⊙N，连接NE，NF 取EF中点M，连接CM，NM ∴∠ENF=90°，设：CM=NM=x， 则：EF=2x，AN=EN=√2x ∴AN+MN+CM=(2+√2)x，当：A、N、M、C共线时，和取得最小值。x取得最小值 即：EF取得最小值时，CE=EF 由结论5可得，EF上的高，AI=AB ∴△AEF面积最小 |
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