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本文对应推文内容为： 第27讲：变限积分与定积分的近似计算 【注】相关推文可以直接参见公众号底部菜单“高数线代”中的“高等数学概率其他"选项，在打开的高等数学面板中的各章节推文列表中可以看到所有相关历史推文，或者直接点标题下的”话题：例题练习参考解答“链接. 例题与练习题 【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！ 练习1：已知求变限积分函数 在上的表达式. 练习2：计算下列各导数： (1) ； (2) ，其中 连续. 练习3：求下列极限： (1) ； (2) ； (3) ，其中 连续，且 , . 练习4：确定常数 的值，使得 求 的表达式. 练习6：设函数 在 上连续，且 ， 证明：在 上的描述的曲线为凹曲线． 练习7：设在 上连续且 ，证明： 在 内为单调递增函数. 练习8：设在 上连续且递减，证明：当时， (1) 证明存在 ，使得在 上以 为高的矩形面积等于在 上以 为曲边的曲边梯形面积. (2) 又设 在 内可导,且 ，证明(1)中的 是唯一的. (2) 设在上可导， ，且 ，其中 为常数. 证明： ，其中 为与 无关的常数. 【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！ 例题与练习参考解答 【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！ 练习1：已知求变限积分函数 在上的表达式. 【参考解答】：(1) 求的表达式. 当时，有 当时，有 (2) 求 的表达式. 当 时，有 练习2：计算下列各导数： (1) ； (2) ，其中 连续. 【参考解答】：(1) 直接由变限积分求导公式，得 (2) 直接由变限积分求导公式，得 练习3：求下列极限： (1) ； (2) ； (3) ，其中 连续，且 , . 【参考解答】：(1) 由求函数极限的洛必达法则，得 (2) 由等价无穷小和洛必达法则，得 (3) 直接由洛必达法则，得 【注】该题可以直接令 f(x)=x 验证结果的正确性. 练习4：确定常数 的值，使得 【参考解答】：因为 时，， 故得. 代入极限式并由洛必达法则，得 故得 ，从而得极限值 . 练习5：设在 上可导, 且 , 其反函数为 ，满足 求 的表达式. 【参考解答】：在已知方程两边对 求导, 得 由题设知 ，整理得 积分得. 代入 ，得 ，故 练习6：设函数 在 上连续，且 ， 证明：在 上的描述的曲线为凹曲线． 【参考解答】：令 ，去掉被积函数绝对值，有 由变限积分求导公式，得 因 在 上连续，且 ，所以 ，即函数 在 上的描述的曲线为凹曲线． 练习7：设在 上连续且 ，证明： 在 内为单调递增函数. 【参考解答】：直接由变限积分求导公式求导得 由于被积函数中 且 ，故由积分的保号性知 ，即在 内为单调递增函数. 练习8：设在 上连续且递减，证明：当时， 【参考证明】：令 则 , . 由于 在 递减，于是有 由此可知 在 内单调递增，在 内单调递减，所以 从而可得 即原不等式成立. 练习9：设在 上连续，在开区间内可导，且 , . 证明： 【参考证明】：令 则 ，且 由于 , ，所以当时，, ，于是可得 . 再令 则 . 并且 于是可得 ，即 在 上单调增加，知 特别有 ，即 练习10：设在 上连续，在开区间内可导，证明：至少存在一点，使得 【参考证明】：依据中值等式命题的一般证明步骤，有 将端点0，1代入，无法确定中括号内值的符号，因此不好直接考虑零值定理验证. 所以考虑构建中括号内的一个原函数，使用罗尔定理来验证. 容易发现积分上限函数的导数正好为被积函数 ，而 ，所以上式的一个原函数为 显然 在 上连续，在 上可导，并且有 所以满足罗尔定理的条件，于是由罗尔定理得 练习11：若函数 在 上连续且单调增加，证明 【参考证明】：令 则 于是 因为函数 在 上单调增，最后的被积函数 中 ，所以 ，所以积分的保序性，可得 ，即函数 单调增加，所以 从而有 ，即原不等式成立. 练习12：设是区间 的任一非负连续函数. (1) 证明存在 ，使得在 上以 为高的矩形面积等于在 上以 为曲边的曲边梯形面积. (2) 又设 在 内可导,且 ，证明(1)中的 是唯一的. 【参考证明】：(1) 结论等价于证明存在 ，使得 令，则 在 上连续，在 内可导，且 ，所以由罗尔定理，存在，使得 成立，即(1) 结论成立. (2) 取 ，则 练习13：(1) 设函数 在闭区间 上可微，且 . 证明： (2) 设在上可导， ，且 ，其中 为常数. 证明： ，其中 为与 无关的常数. 【参考证明】：(1) 由不等式证明的一般思路，令 则 ，且 故 单调增加，即 故原不等式成立. (2) 由题设不等式求导展开且由 ，整理得 两端在区间 上积分，得 移项整理得 由对数函数性质，得 于是令 ，并由对数函数的单调性，得 故所证不等式成立. 相关推荐 ● 高等数学、线性代数、概率统计等课程完整推送内容参见公众号底部菜单 高数线代 下的各选项，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题等！ |
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