【原】八上第23讲一次函数利润，方案类问题大汇总

数海一叶舟 2021-05-17

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写在前面

一次函数的利润问题，方案选择类问题，一直是中考热点，本讲，通过6道题，再来和同学们一起感受经典，不断突破！

例1：

为响应绿色出行号召，越来越多市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额y(元)与骑行时间x(时)之间的函数关系，根据图象回答下列问题：

(1)求手机支付金额y(元)与骑行时间x(时)的函数关系式；

(2)李老师经常骑行共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算．

分析：

(1)很多同学在计算时，只求出0.5小时之后y与x的函数关系式，却忽视了0到0.5小时免费，即y＝0也是一种函数关系式；

(2)求出会员卡支付金额与骑行时间的函数关系式，与(1)问中0.5小时之后手机支付金额与骑行时间的函数关系式联立方程组，找出支付费用相等的时间，再根据函数图像确定哪种支付方式合算．

解答：

例2：

某移动通讯公司提供了A、B两种方案的通讯费用y(元)与通话时间x(分)之间的关系，如图所示，则以下说法错误的是( )

A．若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元

B．若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜

C．若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多

D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分

分析：

本题需注意的是，和上题类似，两种付费方式都是分段函数，分别求出A方案和B方案两种情况下的函数关系式，再进行比较，对于D选项，我们可以借助画小竖线的方法来解决．

解答：

例3：

某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试销售，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图像，图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．

(1)第24天的日销售量是____件，日销售利润是____元．

(2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．

(3)日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？

分析：

(1)根据时间每增加1天，日销售量减少5件，可知第24天比第22天增加2天，日销售量减少10件，每件利润2元，日销售利润可求．

(2)OD段是正比例函数，把(17，340)代入即可，DE段是一次函数，把(22，340)和(1)问中求出的第24天和当天销量组成的坐标代入即可，求x的范围时，两个函数图像的交点D的横坐标即为临界点．

(3)利用求出的解析式中的y，乘上每件利润2元，计算2y≥640，从而算出x的取值范围，确定持续天数，显然，最大利润在点D处，利用第二小问求得的D的纵坐标乘单件的利润即可．

解答：

例3：

某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍x(x≥2)个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A，B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每幅球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价均为3元，目前两家超市同时在做促销活动：A超市：所有商品打九折销售；B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球；在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA(元)．在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB(元)．请解答下列问题：

(1)分别写出yA、yB与x之间的关系式；

(2)若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算?

(3)若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．

分析：

(1)A超市，10副羽毛球拍加10x个羽毛球，B超市，10副羽毛球拍送20个羽毛球，则再买(10x－20)个羽毛球；

(2)分三种情况进行讨论，建立一个方程，两个不等式求解；

(3)先比较单独在A超市和B超市购买哪个合算，再考虑能不能两家超市分别购买，可以更省钱．

解答：

例5：

分析：

(1)设购进篮球m个，排球n个，根据购进篮球和排球共60个且共需4200元，建立关于m、n的二元一次方程组，解之即可；

(2)设商店所获利润为y元，购进篮球x个，则购进排球(60－x)个，根据总利润＝单个利润×购进数量，即可得出y与x之间的函数关系式；

(3)设购进篮球x个，则购进排球(60－x)个，根据进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，以及篮球、排球个数均为非负，即可得出关于x的四个一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其中的整数，即可得出各购进方案，再结合(2)的结论，利用k的正负性，确定函数增减性，即可解决最大利润问题．

解答：

例6：

某公司在甲、乙仓库共存放某种原料450吨，如果运出甲仓库所存原料的60%，乙仓库所存原料的40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30吨．

(1)求甲、乙两仓库各存放原料多少吨?

(2)现公司需将300吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元/吨和100元/吨．经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠a元/吨(10≤a≤30)，从乙仓库到工厂的运价不变，设从甲仓库运m吨原料到工厂，请求出总运费W关于m的函数解析式(不要求写出m的取值范围)；

(3)在(2)的条件下，请根据函数的性质说明：随着m的增大，W的变化情况．

分析：

(1)根据题意，建立关于两仓库原料的两种数量关系，建立二元一次方程组求解．

(2)用含a和m的代数式表示出甲仓库和乙仓库的运费，两者相加，可得关于W的函数关系式；

(3)根据一次函数k的正负性，确定a的范围，可得W随m增大的变化情况．

解答：

八上第19讲《一次函数》必考知识点(上)