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作者 | 蒋迅 说明：本文为第一届和乐杯数学科普大赛参赛作品，原文标题作者自谦为《局外人眼中的数学七大奇迹》。期待更多参赛作品，共同做好数学普及。 历史上有世界七大奇迹。最早提出的古代世界七大奇迹是由古希腊哲学家费罗（费隆）于公元前 225 年选出，当中目前唯一存在的只有吉萨大金字塔，而其余皆已毁坏，流传下来的历史资料也相当稀少，有些建筑甚至是否曾经存在仍是个谜。它们是：胡夫金字塔（埃及吉萨，仍存在），空中花园（伊拉克巴比伦，毁于地震），宙斯神像（希腊奥林匹亚，毁于火灾），亚底米神庙（土耳其以弗所，毁于火灾），摩索拉斯王陵墓（土耳其哈利卡纳苏斯，毁于地震），太阳神铜像（希腊罗得港，毁于地震），亚历山大灯塔（埃及亚历山大，毁于地震）。 后来又有人提出了中古世界七大奇迹：罗马斗兽场（意大利罗马），亚历山大地下陵墓（埃及亚历山大），长城（中国），巨石阵（英国 英格兰埃姆斯伯里），大报恩寺琉璃塔（中国南京），比萨斜塔（意大利比萨）， 圣索非亚大教堂（土耳其伊斯坦布尔）。当然也有一些有争议的建筑，比如：泰姬玛哈陵（印度阿格拉），吴哥窟（柬埔寨），和布达拉宫（中国拉萨）等。另外还有世界新七大奇迹、世界七大工程奇迹、世界七大自然奇观等。 数学家也喜欢七这个数。互联网上有一篇“数字七现象”，认为人们偏爱数字七。我不知道是不是真的如此。刘攀老师写过一篇“7 的话剧”，他几乎话到嘴边但最后没有说出来的就是数学七大奇迹。 于是我就想，数学上能否有一个“数学七大奇迹”呢？下面是我自己的一次尝试。我试图找出那些现代的数学奇迹，它们不但辉煌亮丽，而且雅俗共赏。也许你无法理解它们的本质，但当你看到它们的时候，你会绝对感到震撼，你会体验它们的优雅，你会赞赏数学家们的杰作。另外我还决定不选择那些像复变函数、线性代数、群论和非欧几何等这样的大型数学体系，因为否则就无法完成这篇短文。
这是一个神奇的点，因为它就出现在你的周围，而你可能毫无察觉。当你搅拌你杯中的咖啡时，不管你怎样搅拌，总会有一个点，咖啡没有离开原来的位置。当你手中拿着一张地图，你可以折叠它、反转它、旋转它、甚至扭曲它，总会有一个地球上的点正好在地图的的正下方。如果你手里有两张一模一样的纸，而你把其中一张揉成一团并放在另一张纸上面，那么纸团上有一个点，它正好在另一张纸的同一个点的正上方。我们知道，地球上的每个地方的温度和气压差距很大，而且随时是在变化之中。但在地球的一定有两个相对的点，叫做对跖点（Antipodes），在这两个点的温度和压力是相同的。再来看风吧，在地球上任何时刻总有一个点的风速是零。由此可以知道，风旋和风眼是一定存在的。这些奇妙的事实都是基于一个著名的数学定理：布劳威尔不动点定理。数学上，这个定理是拓扑学的一个重要结论。它的名字来自荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J. Brouwer），但这个结论则是在 20 世纪初由数个欧洲数学家证明的。这个定理说的是：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f，存在一个点x0，使得 f(x0) = x0。不动点定理有很多应用，甚至在一些看似无关的领域。比如在博弈论中就有不动点的应用。在经济学中，布劳威尔不动点定理以及其推广：角谷静夫定理在证明经济学市场中全局平衡的存在性中扮演了重要角色。
这是一个古老的数。我们现在都把它称作 。对 的探索始于几个文明古国。约公元前 1700 年左右，古埃及的纸草书中就有 的记载。约公元前 3 世纪左右，古希腊的两位数学先贤欧几里得和阿基米德对圆周率有了进一步研究，欧几里得提到圆周率是常数，阿基米德则开创了圆周率计算的几何方法（割圆法），把圆周率精确到小数点后两位。约公元前 2 世纪，《周髀算经》中记载有“径一而周三”，也认为圆周率是常数。公元 263 年，刘徽在注释《九章算术》时，求得 的近似值，也把圆周率精确到小数点后两位。而其后，约 5 世纪下半叶，南北朝时代的祖冲之则把圆周率精确到小数点后 7 位（即 3.1415926 与 3.1415927 之间），还得到密率 355/113 和约率 22／7 这两个近似分数值，使得中国的圆周率水平一跃而上，在世界上独领风骚近千年。现在我们知道，它是一个超越无理数，也就是说，它不是任何有理系数多项式的根。 的数字序列被认为是随机分布的，有一种统计上特别的随机性，但至今未能得到证明。一些记忆力超强的人喜欢背诵它，据说已经有了 100000 位的记录。而通过计算机，人们已经获得了它的 10^13^位的精度。这些年来，带领数学领先在数学科普中取得成功。每年的 3 月 14 日都会有很多庆祝活动并得到广泛报道。因为 的定义中涉及圆，所以 在三角学和几何学的许多公式，特别是在圆形、椭球形或球形相关公式中广泛应用。由于 用于特征值这一特殊作用，它也在一些数学和科学领域（例如数论和统计中计算数据的几何形状）中出现，也在宇宙学，热力学，力学和电磁学中有所出现。 的广泛应用使它成为科学界内外最广为人知的常数之一。候选的数有好几个：，， 和 。但我最喜欢的还是这个 。 还巧妙地通过一个美丽的公式 把 0，1 和 联系起来。
这是一位神人。他没有受过正规的高等数学教育，但他却沉迷数论，尤爱牵涉 π、质数等数学常数的求和公式，以及整数分拆。惯以直觉（或跳步或称之为数感）导出公式，不喜作证明，而在他的理论在事后往往被证明是对的。他所留下的尚未被证明之公式，引发了后来的大量研究。拉马努金的数学是靠自己的。在中学毕业前，他得到了一本《纯粹数学与应用数学基本结果汇编》，其中列举了五千多个方程、定理和公式，19 世纪后期人类知晓的大部分数学均包含其中。这本书没有证明，他就一个一个补上。每证明一个数学公式，他就会发现好些其他公式，于是一本《数学笔记》便开始产生了。然后他把其中的一部分内容寄给了英国数学家哈代。由此开始了从 1914 年到 1919 年在英国的极富成果的五年。到英国后，他决定不再发表他笔记本上的结果，因为他的结果大多没有证明。他在 1920 年返回印度并在同年逝世，终年 32 岁。在哈代的倡导下，他的笔记被整理发表。他留下了三本笔记，记录有 3000-4000 条结果，几乎都没有证明（有大约 10-20 条有简单的思路）。1988 年，人们又发表了他的“遗失笔记”。这些笔记就是我们的第三个奇迹。拉马努金笔记的内容覆盖了初等数学、数论、级数、积分、渐进展开与逼近、伽马函数及相关函数、超几何函数、-级数、连分数、 函数与模方程、椭圆函数和类不变量等。我们只在初等数学方面稍做展示。比如，他给出了下面的拉马努金 6-10-8 恒等式: 再比如下面的恒等式： ， 其中，正负号 ，，， 以 3 为周期循环出现。还有 拉玛努金与哈代的合作是一段佳话。其中 1729 的故事广为传播。
这是一个神奇的结构。它的神奇就在于无限自我复制。第一个分形是由本华·曼德博（Benoît B. Mandelbrot）发现的，并在 IBM 的计算机上做出了这个图。我们现在把它称作“曼德博分形”。从数学上，这些分形都有一个共同的特点：在复平面上一定变换下具有自相似性（线性，非线性，抑或统计学意义上的），尺度不变性，以及（通常的）非整数豪斯多夫维数。另一方面，分形思想可以模拟真实世界中的很多“粗糙的”现象。可以说，分形几何是真正描述大自然的几何学，对分形的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。自然界中的分形有云彩，闪电，山脉，海岸线，河流流域的形状；植物的根部和分支，血管和肺部的结构等。分形几何在人类艺术和娱乐中亦有出现，如音乐，艺术，建筑和股票市场的价格走势。曼德博相信，分形几何不但不是非自然的，相反在很多方面都比人类创造出的欧氏几何中各种光滑的研究对象更加直观和自然。 很多分形非常漂亮，人们常常拿分形当作自己的墙纸。
这是一个所有人都不会有争议的入选题目，因为它完全符合我们的选择标准。现在猜想已经成了定理，但是这个过程经历了 358 年。在 1637 年，法国的一位律师和业余数学家费马在丢番图《算术》的纸边上写下了不定方程 并声称当 时无解。费马还写到：“我确信我发现了一种美妙的证法，可惜这里的空白处太小，写不下。”而这一句过于随意的话却让全世界的数学家绞尽脑汁达三百多年。直到 1995 年，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew John Wiles）及其学生理查·泰勒（Richard Taylor）才最终完成了这个猜想的证明。不定方程也称丢番图方程。这样的方程的例子有裴蜀等式、勾股定理的整数解、佩尔方程、四平方和定理，当然，还有费马大定理等。不定方程没有一定的解答思路，所以是数学竞赛里的好题材。不定方程在代数数论、组合设计、整图和有限单群的精细刻画方面都有应用。
这是一个没有玩家的永不休止的游戏。它是在美国英裔数学家约翰·何顿·康威在 1970 年代设计出来的一个看似简单的游戏。在一个二维平面的网格上有一些遵循基本细胞规则的“细胞”（如上图中的右边的黑色和灰色的点），它们在每一秒钟发生一次变化：“生”和“死”。由简单的规则可以衍生出高度复杂的特征，甚至智力。这项发明开创了细胞自动机的新领域。 细胞自动机（Cellular automaton），又称格状自动机、元胞自动机，在 1950 年由冯·诺依曼（John von Neumann）为模拟生物细胞的自我复制而提出，康威设计的生命游戏吸引了科学家们的广泛注意。这种模型的重要性在于，自然界里许多复杂结构和过程是由大量基本组成单元的简单相互作用所引起的。而细胞自动机正好满足这些条件而且是离散的可在计算机上实现的。所以在可计算性理论、数学及理论生物学都有应用。我们可以毫不夸张地说是，康威开创了一类新的科学。上图是由史蒂芬·沃尔夫勒姆在 1983 年提出的单维二进制细胞自动机规则（Rule 30，黑白反转并旋转了 45°）。 康威在 2020 年 4 月因与 COVID-19 相关的并发症而去世。享年 82 岁。我们选择他的生命游戏也是对他的最好纪念。
这是一个至今未解的问题，但又天天伴随我们的宇宙法则。太阳-地球-月亮是一组三体系统，地球-月球-奔月飞船也是一组三体系统。问题是这些三体系统是怎么达到平衡的？所谓三体问题就是指三个质量、初始位置和初始速度都是任意的可视为质点的天体，在相互之间万有引力的作用下的运动规律问题。1887 年，瑞典国王奥斯卡二世赞助了一项现金奖励的竞赛，征求太阳系的稳定性问题的解答，这是三体问题的一个变种。法国数学家庞加莱简化了问题，提出了限制性三体问题：即三体中其中两体的质量极大，以至于第三体的质量完全不能对其造成任何扰动。面对这个问题，庞加莱运用了他发明的相图理论，并且最终发现了混沌理论。庞加莱没有成功给出一个完整的解答，但是它标志着天体力学的一个新时代的诞生。三体问题解的计算在航天飞行上特别重要，美国阿波罗登月的成功得益于用数学计算找到了一条往返地球和月球的轨道；日本能成功取得第三个绕月飞行的国家也是由于数学家精确计算了一条异乎寻常的轨道；还有拉格朗日点的应用等等。
恐怕职业数学家们对这里选编的这个数学七大奇迹不以为然，他们看到的是数学世界里的高楼大厦。这是一个局外人很难看到的。其实我也很想知道，真正的数学七大奇迹是什么呢？ |
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