| 2020-2021中考数学相似(大题培优易错难题)含答案解析 一、相似 1．如图，在一块长为a(cm)，宽为b(cm)(a>b)的矩形黑板的四周，镶上宽为x(cm)的木板， 得到一个新的矩形． （1）试用含a，b，x 的代数式表示新矩形的长和宽； （2）试判断原矩形的长、宽与新矩形的长、宽是不是比例线段，并说明理由． 【答案】（1）解：由原矩形的长、宽分别为a(cm)，b(cm)，木板宽为x(cm)， 可得新矩形的长为(a＋2x)cm，宽为(b＋2x)cm （2）解：假设两个矩形的长与宽是成比例线段，则有 ， 由比例的基本性质，得ab＋2bx＝ab＋2ax，∴2(a－b)x＝0. ∵a>b， ∴a－b≠0， ∴x＝0， 又∵x>0， ∴原矩形的长、宽与新矩形的长、宽不是比例线段． 【解析】【分析】（1）根据已知，观察图形，可得出新矩形的长和宽。 （2）假设两个矩形的长与宽是成比例线段，列出比例式，再利用比例的性质得出x=0，即 可判断。 2 2．已知直线y=kx b 与抛物线y=ax （a＞0）相交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与 y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D． （1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a 的值； （2）若∠AOB=90°，点A 的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标； （3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO． 【答案】（1）解：如图1， ∵抛物线y=ax2 的对称轴是y 轴，且AB ∥x 轴， ∴A 与B 是对称点，O 是抛物线的顶点， ∴OA=OB， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∵AB=2 ，AB ⊥OC， ∴AC=BC=1，∠ BOC=30°， ∴OC= ， ∴A （-1， ）， 把A （-1， ）代入抛物线y=ax2 （a ＞0 ）中得：a= ； （2 ）解：如图2，过B 作BE⊥x 轴于E，过A 作AG ⊥BE，交BE 延长线于点G，交y 轴于 F， ∵CF ∥BG， ∴ ， ∵AC=4BC， ∴ =4 ， ∴AF=4FG， ∵A 的横坐标为-4， ∴B 的横坐标为1， ∴A （-4，16a），B （1，a ）， ∵∠AOB=90°， ∴∠AOD ∠BOE=90°， ∵∠AOD ∠DAO=90°， ∴∠ BOE=∠ DAO， ∵∠ADO=∠OEB=90°， ∴△ADO∽△ OEB， ∴ ， ∴ ， ∴16a2=4， a=± ， ∵a＞0， ∴a= ； ∴B （1， ）； （3）解：如图3， 设AC=nBC， 由（2）同理可知：A 的横坐标是B的横坐标的n倍， 2 2 2 则设B （m，am ），则A （-mn，am n ）， ∴AD=am2 2 n ， 过B作BF⊥x轴于F， ∴DE∥BF， ∴△ BOF∽△ EOD， ∴ ， ∴ ， ∴ ，DE=am2n， ∴ ， ∵OC ∥AE ， ∴△ BCO∽△ BAE， ∴ ， ∴ ， ∴CO= =am2n， ∴DE=CO． 【解析】【分析】（1）抛物线y=ax2 关于 y 轴对称，根据AB ∥x 轴，得出A 与 B 是对称 点，可知 AC=BC=1 ，由∠AOB=60° ，可证得△AOB 是等边三角形，利用解直角三角形求出 OC 的长，就可得出点A 的坐标，利用待定系数法就可求出a 的值。 （2 ）过B 作BE⊥x 轴于E，过A 作AG ⊥BE，交BE 延长线于点G，交y 轴于F，根据平行 线分线段成比例证出AF=4FG，根据点A 的横坐标为﹣4 ，求出点B 的横坐标为1，则A （- 4 ，16a ），B （1 ，a ），再根据已知证明∠ BOE=∠DAO ，∠ADO=∠OE |
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