阿氏圆定理(阿波罗尼斯圆定理): 若一动点P 到两定点A,B之间的距离之比为定值k, 则点P的轨迹是以定比k内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆。 其实说真的,无论是高中或初中,这个阿氏圆都还是比较常见的。 因为它曾经或依旧是中考的热门考点,也一度是高中几何的常考点。 还曾经或许将一直被称作“圆的第二定义”。 所以,单独研究下这个圆,也还是会很有价值的。 1 阿氏圆的“前世今生” 几何的前世 由定值寻找阿氏圆 说真的,这个几何证法只是按阿氏圆定理作了个图,并结合三角形的角平分线定理构造出了这个圆。仅此而已。 也仅是仅此而已! 为什么这么说呢? 不说现在还有多少孩子知道内分点和外分点,但凡经历过初中的孩子们都知道,中考比较热门的“PB+kPA”型最值问题,就需要通过适当的方式 ,将之转化为大PB+PE形式的“胡不归问题”处理。 但如何转化呢?这就需要学生了解甚至熟知阿氏圆的基本常识了。 很多的老师总认为这个转化其实是非常简单的,因为他们有一直津津乐道的“美人鱼”或“子母”相似三角形。但其实,又有多少同学能够很直观地理解甚至记忆这个结论呢! 因此,今天就想对阿氏圆定理做一个稍微深入些的分析或思考。并通过例题,让初高中的孩子们能够更容易接受这种通性通法的思路。 由阿氏圆寻找定点 其实,站在结论的制高点对问题进行剖析,往往会起到意想不到的效果。 就象上面的两个结论,我认为才算是解决了初中生最大的烦脑。 因为,对于大部分学生来说,最喜欢的莫过于这种最直白的结论了。毕竟很多时候,因为压力和时间的原因,在他们的眼里和心里,数学是毫无美感可言的,而这种通性的结论,可能会更加让他们乐于接受和记忆。 因此,要找点E,如果你告诉他: 他一定会很容易的就知道怎么做出点E了。 因此,数学的教学,还是尽量远离类似于“美人鱼”或“子母”这种自我陶醉式的总结吧。 代数的今生 解析法证明阿氏圆 在上面的证明过程中,有没有体会出“解析法”的强大呢? 平面内到两定点距离之和为定值得椭圆,之差为定值得双曲线,现在的之比为定值又得到了圆。所以说,将“阿氏圆定理”看作“圆的第二定义”确实是有一定道理的。 而且,对于高中的孩子来说,可能会更加喜欢现在的这种解析法吧? 这也是我觉得从几何和代数两种角度对阿氏圆的理解,就是阿氏圆的前世和今生的原因。 几何的前世,代数的今生。 只是,这个“解析法”的计算量,嗯,确实也稍微的丰富了些。 但如果撇开计算量,观察结果,你就会发现一些便于我们以后解题的规律了。 在具体问题中,至于圆心的位置,只要知道在定点确实的直线上就行了。一般而言,半径才是最重要的。 所以记住半径的结论是至关重要的。 其实,从知识的角度看,掌握了上面这些,以后对于“阿氏圆”有关的问题,我们就可以肆无忌惮的处理了。 2 阿氏圆的应用 其实,对阿氏圆的考查,主要从隐圆和最值两个角度入手。 与最值相关的,类似于“胡不归问题”高级版本。 因此,也决定了它的处理,将更有思想性和思维性。 而隐圆问题,主要考查学生对阿氏圆条件特征的理解和记忆。而这,注定也是高中生所要面对的。 因为综合性的问题,也将更能考查作为一名高中生应有的应变和综合能力。 NO.1 知圆方知缘如此 ☆几何法寻找隐圆 ☆代数法寻找隐圆 ☆几何法寻找隐圆 NO.2 循圆找点显从容 NO.3 圆外综合显能力 |
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