【原】你看，那座桥是不是可以再拆几根梁？

解决桁架问题不会画受力分析图？桁架形状太怪不好画麦克斯韦图？没关系！本篇文章教你虚功原理。不用分析受力，不用画图。一个式子出一个力，简单粗暴快捷！  

  首先我们先了解一下什么是虚功原理[1]。  

  考虑一个处于力学平衡的、有约束的力学体系。考虑某个时刻t系统坐标的一个微小的、与运动方程和约束条件都兼容的虚拟位移：。这称为该力学系统的 一个虚位移。如果作用在质点i上的力为，由于每一个质点都处于力学平衡，显然。因此，我们有：

  我们现在将作用于粒子i上的力分为两个部分：,其中是所谓的主动力，也就是除去约束引起的力之外的所有力；称为约束力，它完全是由于约束条件引起的力。于是我们有：

现在假设约束满足：

也就是说，我们的约束力的虚功之和为零。这包含了相当多的一类完整约束，绝大多数情形下，约束力应当垂直于虚位移。在此条件下，即有：

即所有主动力的虚功之和也为零。这个结论称为静力学中的虚功原理。

  我们再对桁架进行一说明。与上篇文章相同，我们研究平面简单桁架。它需要满足以下假设：

1. 杆件间用光滑铰链连接。
2. 桁架所受的力均作用于节点，且在桁架所在平面之内。
3. 桁架本身重量不计，或平均分配在杆两端的节点上。
4. 桁架以三角形框架为基础，每增加一个节点需要增加两根杆件。

  可以证明，平面简单桁架一定是静定的。

• 本文章将通过一道例题讲解如何在桁架问题中使用虚功原理。

例：如图所示为一平面简单桁架。图中小正方形边长1m，绿色箭头均为大小F=10N的力。求杆BC、CD、EF、GH上力的大小及类型。

题图

解：运用虚功原理解决桁架问题时，应将载荷与待求力作为主动力。人为设置一虚位移来求解。这里的虚位移应当理解为虚广义位移，多数情况下，设虚角位移较利于求解。

先计算杆BC上的力。

  假设桁架左部顺时针转动，图中为方便观察进行了夸大。但是要牢记，图中的所有位移都是虚位移，都是极小的，计算时是可以使用小量近似的。为简化算式，记初始时水平竖直杆长均为。

解图1

  旋转后，I点下沉，水平位置不变，C点则下沉

，右移。

下一步就是要计算BC杆的长度变化量。

根据虚功原理

解得，为压力。

计算杆CD上的力。

解图2

假设桁架左部顺时针转动，则D点下沉，右移。右部会随着逆时针转动，C点则下沉，左移。则CD杆的长度变化量为：

根据虚功原理

解得，为压力。

计算杆EF上的力。

解图3

         假设桁架左部顺时针转动，考虑到四边形JFKE是平行四边形，右部也会顺时针转动。则F点下沉，水平位置不变。J点下沉，右移。K点上升，水平位置不变。E点上升，右移。EF杆的长度变化量计算较为复杂。我们可以计算∠EJF，再借助余弦定理来得到EF的长度变化。

根据虚功原理

解得，为张力。

最后计算杆GH上的力。

解图4

        假设桁架左部顺时针转动，考虑到四边形HLGM是平行四边形，右部也会顺时针转动。则L点下沉，水平位置不变。H点下沉，右移。G点上升，水平位置不变。M点上升，右移。

GH杆的长度变化量的计算同样需要借助余弦定理。

根据虚功原理

解得，为张力。

        虚功原理为我们提供了一种避开麻烦的受力分析的方法。它将力的问题转化为了能量的问题，提供了一条解决问题的新途径。使用此法的关键，是要计算出正确的虚位移。小量近似与求导均是可取的方法。解题时特别要注意的是，由于平面简单桁架是静定的，构造虚位移时会牵一发而动全身，切忌只计算了部分结构的移动而忘记其他部分。此外，不同于麦克斯韦图法及传统的节点法在求解时会算出所有力，使用虚功原理可以有针对性的计算特定的杆件，这也是虚功原理的优点之一。

        为帮助读者巩固麦克斯韦图，特将本题的麦克斯韦图附于下方，供想练习的读者参考。

分块图

麦克斯韦图

  封面图为钱塘江大桥，是中国浙江省杭州市境的一座跨钱塘江双层桁架梁桥，位于西湖之南，六和塔附近钱塘江上，由中国桥梁专家茅以升主持设计，是中国自行设计、建造的第一座双层铁路、公路两用桥。[2]

[1]

《理论力学》: 刘川

[2]

钱塘江大桥: https://baike.baidu.com/item/%E9%92%B1%E5%A1%98%E6%B1%9F%E5%A4%A7%E6%A1%A5/2521065?fr=aladdin#reference-[1]-139752-wrap