|
提到虚位移法，本身并不神秘，很久以前人们就在不自觉的使用这一方法。13世纪欧洲力学家约丹努（Jordanus de Nemore ，生卒年份不详）在证明杠杆原理时，就使用了一些虚位移的思想。如图1(a)所示的非等臂杠杆，当a、b两端所悬重物的质量之比恰好为两者臂长之比的倒数时，即ma:mb=cb:ca，杠杆保持平衡（杠杆原理）。试证明这一原理的正确性。 约旦努采用了相当于反证法的方法，假设不平衡，不妨设a端上升至d，而b端下落至e，则有ma:mb=be: ad。假想（虚构的）在g处（要求cg=cb）放一质量为mb的重物，为了区别于mb，记为mg，但我们清楚mb=mg。约旦努得出一个结论：如果说 b端的质量mb可以把a端的质量ma提升ad，同样也可以把g处的mg提升gm，这两者是完全等价的。 这就相当于把图1(a)的非等臂杠杆看成了图2(b)的等臂杠杆，然而由于cg=cb，且mb=mg，对于所悬重物相等的等臂杠杆，显然所假设的运动是不可能的，当然反向的运动也不可能，因此它只能保持平衡状态。
这段证明多少显的晦涩了一些，不过人类对自然规律的认识正如我们学习的过程，都需要经历懵懂、再认知、到清晰理解的过程。尽管约旦努的“反证法”不能提出“虚位移”的概念，但他假设平衡杠杆发生了位移，应该算是虚位移原理的萌芽。当静力学发展到16世纪时，荷兰力学家斯蒂文（Simon Stevin, 1548- 1620）就将虚位移原理大大的推进了一步。 斯蒂文我们应该记住他，力分解的平行四边形法则就是他提出的。他在研究滑轮系统时，发现“在任何滑轮系统中每个被支撑的重物与它由该系统的任意给定位移带动而移过的距离的乘积在整个系统中处处相等时，该系统保持平衡”。读起来有点拗口，但已经非常接近我们现在所学的虚位移原理了。 尽管斯蒂文的做法和现在的虚位移原理（虚功原理）非常接近，只不过当时人们对于功的概念还不清楚，同时也缺少虚位移原理所需要的数学工具——变分法，还不能准确的描述出虚位移原理。这是一个漫长的时间，在此后，伽利略、约翰 伯努利等都曾定义过虚功原理。到17世纪变分理论确立，19世纪人们对功和能概念的明晰，并认清了功能之间的转换关系，为虚位移原理的提出创造了条件。
完成这一工作的是法国力学家科里奥利（Gustave GaspardCoriolis，1792-1843），他正确定义了功，并明确了功与能之间的关系。科里奥利我们多说一下，在理论力学中的科氏加速度、科氏力正是以科里奥利命名的。他对虚位移原理的描述为：“在理想完整的约束中，主动力在虚位移上所作的总功为零。” 现在我们学的理论力学教材上的定义为：“对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所作虚功的和等于零”（《理论力学》(I)哈工大第8版P380），这两个定义在虚位移原理上是一致的。在理论力学教材中，虚位移原理也称为虚功原理（不过有些题只使用到虚位移，而不用计算虚功）。 理解虚位移原理有三个要点： 1） 虚位移：质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移。虚位移不是真实位移，是假想的；但不能任意假想，必须是约束允许的。 2） 理想约束：当物体（力学体系）上所受的约束反力在任意虚位移上所做的功之和为0时，这样的约束被称为理想约束； 3） 主动力在虚位移上所作的总功为零。
“在不求约束的条件下求出主动力之间的关系”， 这个结论很重要！如果把结构中的某个约束用约束反力来替代，将约束反力视为主动力，同样可求得约束反力的大小。如下图图6中所示的简支梁，先将有端约束去掉，用约束反力替代，假设发生图示虚位移，则利用虚位移原理可以写出方程 图6
再来看这样一个例子：如图7所示两根均值刚杆各长2l，质量为m,在B端铰链连接，A端用铰链固定，自由端C有水平力F作用，求两杆的平衡位置。 整理一下：虚位移原理至少可以求解三方面的问题：其一是确定主动力之间的关系（求未知的主动力），其二求约束反力（将约束力视为主动力等同于第一种情况），其三确定系统在已知主动力时的平衡位置。
上面的第二点很有意义，约束力也可以视为主动力，如果我们把惯性力(ma)也视为主动力，并利用虚功原理来求解，就又成为了分析力学的体系。在拉格朗日引入广义坐标后，在求解复杂体系的动力学问题上显现出了卓越的能力，这对于解决复杂机械中的多级齿轮传动问题有直接的帮助。 参考资料： 武际可.力学史[M]. 上海辞书出版社, 2010. 西北工大理论力学课件 https://wenku.baidu.com/view/053bff3843323968011c92d3.html?mark_pay_doc=2&mark_rec_page=1&mark_rec_position=2&clear_uda_param=1 网络视频课. 虚位移原理. 李俊峰 清华大学.. http://www./jpk/viewCharacterDetail.action?sectionId=20737&courseId=2990 |
|
|
