【原】傅里叶变换的应用Ⅰ——热传导与扩散

事实上，傅里叶变换本来就是傅里叶在解决热传导问题时提出的理论。我们也从这个问题入手来讲解傅里叶变换的应用。

1 傅里叶热传导定律

热传导是一种非常常见的现象。当系统内温度分布不均时，热量就会自发地从高温处流向低温处。在这个过程中，温度既是位置的函数，又是时间的函数。

为简化问题，我们先考虑一维的情形。

设温度沿方向逐渐升高，如图1所示。在平面附近垂直于轴作一对平面。相距，其上温度分别为和，则温度梯度为

图1 傅里叶热传导定律

实验表明，单位时间通过平面上面积为的面元的热量(即热通量或者热流)为

式中负号表示温度由高温侧传向低温侧，即逆温度梯度方向。比例系数κ称为热导率，在MKS单位制中的单位为瓦每米开。式(1)称为傅里叶热传导定律。

2 热传导方程

选取厚度为，截面积的微元进行研究。

根据热力学第一定律，有

故

时上式化为

其中，是一个与物质热导率、比热容、密度有关的参数。

若物体本身发热，式(2)应变为

有源热传导方程式(3)容易推广到二维与三维。

3 无源热传导方程的求解

本节我们求解无源热传导方程。

假设有一长为的直杆，杆与外界不进行热交换。杆初始时有一温度分布，求时刻杆上的温度分布。

方程(6)是一个线性偏微分方程。求解它可以采用分离变量法。假设方程的解可以写作

将式(7)代入式()得

分离变量得

注意到上式的左侧只与有关，而右侧只与有关。要使等式成立，只能要求等式两边均等于同一个常数，即

方程化为了两个常微分方程。分别求解可得

再考虑边界条件。由于杆不与外界交换热量，杆的两端的热流应当为0，即

这就要求(13)式中应当为0。因此应该有着这样的形式：

同时式(15)要求

变形即可得到

代入()式，得满足方程与边界条件的解可以是

根据我们所讲的半幅傅里叶级数，定义在有限区间$0<x<l$上的任意分段光滑函数，有余弦函数展开式</x<l$上的任意分段光滑函数，有余弦函数展开式<>

其中展开系数为

通过半幅傅里叶变换，我们可以将任意的初始条件转换为三角函数的累加，再结合(18)式便可给出任意时刻的温度分布。

4 绝热杆上温度变化仿真模拟

上一节中我们已经求出了与外界绝热的杆上的温度变化规律，借助现代的科学计算软件，我们可以更好地了解这一规律。下面我们利用 Wolfram Mathematica 12.0形象地展示绝热杆上的温度变化状况。

考虑杆初始时是这样一个温度分布：杆上温度线性变化，处，而处，。求之后杆上的温度分布。

初始时的温度分布可以用函数表示。

图3 保留项数不同时杆上的温度分布

首先用半幅傅里叶级数进行拟合。根据式(20)和式(21)可以求出展开系数

为直观感受随着展开式项的增多，图象越来越接近图2，取不同的项数绘图如下。

2

可以发现仅保留6项时就已经与原函数相当接近。

根据式(18)，每一项都有着一个对应的衰减因子。代入题干数值得

图4 不同项随温度的变化

注意图4中不同行的纵坐标不同。从图中我们可以看出，除0阶项外，所有项的振幅均为指数衰减，且阶数越高，衰减越快。

我们也可以画出随和的变化规律，如图5所示。

图5 T随x,t的变化图象

5 菲克扩散定律

第1节我们介绍了傅里叶热传导定律。实际上，除了热传导，扩散现象的规律也有着类似的形式。

菲克扩散定律应用于纯扩散过程，即密度均匀、压强均匀条件下的扩散。容器中只有一种气体时，密度不均匀会导致压强不均匀，从而产生气流，这主要不是扩散现象。只有混合气体才可能发生纯扩散。

实验表明，纯扩散满足

进一步推导可得

这与式(2)形式完全相同。因此研究扩散问题同样可以利用傅里叶变换，方法与处理热传导时相同，在此不再详细讲述。

6 小结

本节我们研究了一维绝热杆上的热传导。实际上，傅里叶也是在研究这个问题时提出的傅里叶变换。纯扩散问题有着形式相同的规律，也可以这样处理。我们将任意的初始条件都可以转化为余弦函数的叠加，从而简化了问题。

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