2020年高考数学全国I卷20题解析及其蕴含的规律

考题回顾

已知 A, B 分别为椭圆 E： 的左右顶点，G 为 E 的上顶点， 为直线 上的动点, 与 的另 一个交点为 C，PB 与 E 的另一个交点为 D.

（1）求椭圆E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

       就解题来看2020年高考数学全国I卷20题与北京卷20题相比，全国I卷解题思路更加清晰，先设P（6，y₀）,分别用y₀表示直线PA，PB的方程，与椭圆E的方程联立，求出点C，D的坐标（用y₀表示），再求出直线CD的方程，化简说明直线CD过定点即可；而北京卷需要用特殊情况猜出结论再证明，证明过程需要将求点P，Q纵坐标绝对值的比转化为证明点P，Q纵坐标的和为0（解法见上一篇文章），体现了由特殊到一般的探究思想和转化的思想.相比较全国I卷计算更加繁琐一些，二者都蕴含了椭圆的一个规律.

下面先给出此题的解法：

直线 CD 过定点 

事实上椭圆有如下规律：

设 A, B 分别为椭圆 E: 的左右顶点, P直线 x=m(mキ0)上的动点，PA 与 E 的另一个交点为 C, PB 与 E的另一个交点为 D.则直线 CD 过定点 M 当 时. M 与 B 重合，当 m=-a 时，M 与 A 重合。