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师：（回顾）圆心在原点的圆的参数方程是什么？其参数的几何意义是什么？  生：  师：在推导该参数方程时我们使用到了三角函数中的哪一个等式？ 生：  师：试利用（*）猜测椭圆的一个参数方程。  师：很好，这是一个很好的类比思路。那这里的参数θ的几何意义与圆的一样吗？ 学生作图后，发现不一样 师：我们如何在椭圆中构造θ角？ 学生思考后无思路。 师：我们不妨从简单入手，也就是让θ为锐角，然后观察式子 ：  类似于圆，我们在直角三角形中来构造θ。  师：如图，作出x。要构造θ，需要在OM的基础上，构造直角三角形，使其斜边为a，邻边为OM.那斜边在哪里？对应的直角三角形又在哪里？ 生：以a为半径，过圆心O作圆，并延长MP，交于点R。斜边为RO,直角三角形为RT△ROM.  师：很好，那这样对应的θ是哪一个角？ 生：∠ROM 师：嗯。这是一个大胆的猜测。下面我需要来进一步验证它是否正确。 用同样的方式我们来看  中的θ是否也为∠ROM？ 师：哪位同学来说一下你的思路？ 生：首先，我们需要在图中找到y，也就是过P作y轴的垂线PN,则ON=y为对边。然后，需要找到b所对应的线段（斜边）。它们都在以θ为锐角的直角三角形中。但是我不知道怎么找斜边？ 师：思考在之前我们是怎么找到斜边OR的？ 生：晓得了。我们可以以O为圆心，b为半径作圆。与NP交于点S。只要证明点S在OR上就可以了。  师：为什么？  师：方向对了。那如何证明点S在OR上呢？ 生：用坐标法。算出直线OR的方程及点S的坐标。证明点S的坐标满足直线OR的方程即可。 师：很好，还有没有更好的方法呢？这留给大家下去完成。 师：上面我们探究得到了θ角的几何意义。那哪位同学来给我们总结一下——如何找出θ角呢 ? 生：以O为圆心，a和b为半径作两同心圆。在大圆上任取一点R,连结OR，交小圆于点S，分别过点R、点N作x轴、y轴的垂线，交椭圆于点P. 则∠ROM为椭圆上点P对应参数θ。 完毕！ 本课特点：从圆的参数方程出发，猜测椭圆的一个参数方程，并逐步探究出椭圆的参数方程中，参数θ的几何表示。进一步给出严格证明。最后，再回归椭圆，引导学生总结出如何快速作出θ角的方法。  专栏 数学课本中的公式、定理历史溯源 |
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