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分析： （1）根据△ABC和△ADE相似，可以得到AD：AB=AE：AC，同时∠BAC=∠DAE，那么同时减去∠DAC，可得∠BAD=∠CAE，加上AD：AE=AB：AC，可得△ABD∽△ACE； （2）根据条件可知△ABC和△ADE都是有30°的直角三角形，根据刚才上一小题的结论可知，如果连接CE， 可得△ABD∽△ACE，则AE：CE=AD：BD=√3， 而在Rt△ADE中，AD：AE=√3 所以可得AD：CE=3 而题中要的是DF：CF，所以想办法转换到相似比例上， 而根据刚才的相似可知∠ACE=∠B=30° 再结合对顶角∠AFD=∠EFC 那么△AFD∽△EFC 所以DF：FC=AD：CE=3； （3）两个30°角，一个90°角，但是都不挨着，就算勾股定理好像和AB与AC也无关，那么已知线段用不上，只能比较一下条件看看有没有什么线索 根据AB和AC的长度可知AB：AC=2：√3 而BC和BD也是这个比例，但是能搞出相似吗？ 不行，线段不在一个三角形中 再看题中要求的是AD，这位置挺扯淡的， AD能结合的已知条件就一个∠BAD=30°，有30°还能想想凑一个直角三角形，所以要不我们将AD放进直角三角形试试 30°角已经有了，那么是过D作AD的垂线还是做AB的垂线呢？ 这个还真得好好考虑一下 如果作AB的垂线，那么点D处多出一个60°角，除了能得到直角三角形的三边关系，好像并无大用 那么如果做AD的垂线，就能在D处多出一个90°角， 题上已经有一个∠BDC=90°了 现在就会有两个90°，而且共顶点，而且两个90°角还都在有一个角是30°的三角形中，这不就类似于旋转吗 甭说了，赶紧过D做AD的垂线 这样一来，△ADE和△BDC就如同绕D旋转， 而且两个三角形形状相同，所以相似， 那么可得AD：BD=DE：CD 然后呢？ 是不是忘了点什么？ 有旋转不是有新的全等或相似吗？ 两个三角形中取对应边组成新三角形，所以连接CE 那么根据∠ADB和∠EDC都是90°+∠BDE， 所以△ABD∽△ECD 那么AB：CE=BD：CD=√3:1 所以CE=4√3/3 但是，要求出AD，必须得有AE或者DE长度才行 现在已知的还没用上的条件有AC和刚求出的CE，这俩看着是不是有点像直角三角形的两条边？ ∠DEC=∠BAD=30°，∠AED=60° 所以∠AEC=90°，牛逼啦 那么可得AE长度2√5/√3 最后AD=AEcos30°=√5； |
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