干货 | 圆锥曲线的定义辨析以及利用定义求距离之和的最值

圆锥曲线的定义

1、圆：平面中，到定点的距离等于定长r（r＞0）

2、椭圆：在平面中，到两定点F1、F2的距离之和为常数2a（2a＞|F1F2|）

简单地，①平面中；

②|MF1|+|MF2|=2a；

③2a＞2c

3、双曲线：在平面中，到两定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a（2a＜|F1F2|）

简单地，①平面中；

②||MF1|-|MF2||=2a；

③2a＜2c

4、抛物线：平面中，到定点F与定直线的距离相等（F不在定直线上）

简单地，①平面中；
②d=|MF|；

③F不在直线上

【注意】椭圆、双曲线与抛物线的定义容易忽略第③点，导致判断出错

定义辨析

1、已知A(-1，0)、B(1，0)为平面上的两个定点，动点P到A、B两点距离之和为常数2，点P的轨迹是____．

【错误】|PA|+|PB|＝2（常数），则轨迹为椭圆。

错因：忽略2a＞2c

【答案】|AB|＝2，而动点P到A、B两点距离之和为2，也是2，2a=2c，故点P的轨迹不是椭圆，线段AB．

2、已知F1(-5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|-|PF2|=2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别为( )

A．双曲线和一条直线

B．双曲线和一条射线

C．双曲线的一支和一条直线

D．双曲线的一支和一条射线

【错误】|PF1|-|PF2|=2a（常数），所以其轨迹双曲线一支。

错因：忽略2a＜2c

【答案】依题意得|F1F2|=10，

当a=3时，2a=6＜|F1F2|，且|PF1|-|PF2|=6＞0，点P的轨迹为双曲线的右支；

当a=5时，2a=10=|F1F2|，故点P的轨迹为一条射线.故选D.

3、平面中，动点M到点P(-1，0)与x=-1的距离相等，则点M的轨迹为_____

【错误】|PM|=d（常数），所以轨迹为抛物线。

错因：忽略“定点不在线上”

【答案】依题意得点P(-1，0)在直线x=-1上，要使|PM|=d，则动点M在过点P的直线x=-1的垂线上，故轨迹为直线。

定义求最值

【解析】选D.如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4,0).

由双曲线的定义及标准方程得|PF|-|PE|=4，

则|PF|+|PA|=4+|PE|+|PA|

由图可得,当A、P、E三点共线时，

(|PE|+|PA|)min=|AE|=5，从而|PF|+|PA|的最小值为9，

故选D.

【解析】如图所示,设椭圆右焦点为F1,

根据椭圆的定义，则|PF|+|PF1|=6.

所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6.

利用-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(当P、A、F1共线时等号成立).

【总结反思】

利用圆锥曲线的定义求距离之和的最值

——本质：数形结合（临界状态）

工具：

①圆周上点的问题→圆心的问题

②化折为直（两点间线段最短）

③三角形三边关系