中考数学压轴题分析：2倍角问题

2倍角问题出现的次数还是不少，本文内容选自2020年葫芦岛中考数学压轴题，难度一般，可以和之前的题目进行一些对比。

【中考真题】

（2020·葫芦岛）如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，作直线．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线上方的抛物线上存在点，使，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点的坐标为，点在抛物线上，点在直线上．当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．
【分析】

题（1）求解析式代入点坐标即可。

题（2）是2倍角的问题，由于∠ABC的一条边在x轴上，所以只需对称即可得到它的2倍角，然后过点C作平行线即可得到点D。

还可以构造等腰得到外角的2倍。

还有这样也可以。

关键是得到2倍角，然后再利用tan等进行构造等量关系。

题（3）是两定两动的平行四边形存在性问题，根据平移关系得到坐标之间的等量关系，或者利用对角线平分再根据中点坐标公式进行求解也可以。关键还是需要分3种情况进行分类讨论。当然也可以直接画图进行处理。

【答案】解：（1）抛物线经过点，，
，解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）

【方法一】

作点关于轴的对称点交抛物线于点，

的坐标为，
的解析式为：，
则，
解得：（舍，，
；
【方法二】

如图1，过点作轴交抛物线于点，则，

过点作于点，则，
，
，
，
，
，
设点的横坐标为，则，
，
，
点是与轴的交点，
，
解得，，
的坐标为，
，
，
解得（舍去），，
点的纵坐标为：，
则点坐标为；
（3）设直线的解析式为：，
则，解得：，
直线的解析式为：，
设，
分两种情况：
①如图和图，以为边，为对角线，在轴的上方时，四边形是平行四边形，

，，
，
代入抛物线的解析式得：，
解得：，
，或，；
②如图和，以为边，为对角线，四边形是平行四边形，

同理得：，
代入抛物线的解析式得：，
解得：，
，或，；
综上，点的坐标分别为：，或，或，或，．859