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普通年金现值系数是财务工作者经常运用的工具，比如可行性研究，比如项目决策等。但不是所有人对其本质有深刻的了解，当然有的人会说，只要按照系数表查询计算就行了，但实际上有时会碰到复杂或特殊的情况，因对其理解不够，导致无法判断其正确性。 比如，有的人在运用普通年金现值系数计算时，发现每期收付的等额金额会小于计算的利息，这时候就会犯嘀咕，这样计算对不对；还有的混淆了预付年金或递延年金的计算，导致错误等等。总之，笔者认为，还是应将其概念和应用理顺一下，明白其原理掌握其实质，万变不离其宗，遇到什么问题也可迎刃而解。 一、普通年金的概念 普通年金（说明，本文中笔者对概念做白话解释，便于理解），每期末收取或支付相同金额，比如，每年末存入银行1元，存3年，这就是普通年金。有的朋友可能问，为什么一定要在期末？在期初那叫预付年金，给予期末“正宗”地位，是因为一般情况下年金在期末支付。比如，买债券，每年末或季度末给付利息，一般没有在期初就给利息的；银行存款，一般是在季度末结算利息，不太可能一存入银行就结算。掌握了普通年金，预付年金、递延年金都可以以普通年金为基础计算。 普通年金的终值比较好理解，这里不做阐述，我们主要理解普通年金现值。 一般的现值的概念是这样的，年初存入银行一大笔钱，年利率10%，2年后得到1.21元，其现值就是1.21÷（1+10%）2 =1元。 这个大家都好理解，因为复利计算是“利滚利”，每一期生成的利息都作为下一期利息的计算依据。 普通年金现值的概念有所区别，其也是复利“利滚利”的计算方式，但重要的区别在于，由于存在每期等额收付的情况，其对于以后本金的影响有所不同，详见下文。 二、普通年金计算方式及其原理 假设我们现在往银行里存一笔钱，保证以后每年得到1元，共3年，年利率10%，那么我应该现在银行里存多少钱？这是求普通年金现值。 普通年金现值有三种计算方法： 第一，查询普通年金现值系数表，查询期间3年，利率10%，对应的系数为2.4869，所以，普通年金现值=1×2.4869=2.4869元。 第二，根据公式，现值PA =1÷（1+10%）1+1÷（1+10%）2+1÷（1+10%）3 =0.9091+0.8264+0.7513=2.4869（小数差暂不考虑） 这种计算方式的优点是不用查表，如果期数比较少，可以直接计算。 第三，根据公式，现值PA =A[1-(1+i) -n]/i=[1-(1+10%) -3]/10%=2.4869 这种计算方式的优点是可以计算在系数表中查不到的数据，比如利率不是整数，比如期间不是整数等等。 我们根据现值2.4869，以及年利率10%，期间为3年，每年末从银行取走1元，来看以下计算过程，观察普通年金是如何计算的： 年初存入2.4869元 第一年末本利和变为=2.4869+2.4869×10%=2.7355 取走1元，则剩余金额变为2.4869+2.4869×10%-1=2.4869-（1-2.4869×10%）=2.4869-0.7513=1.7355元。 注意，以下是重点：从银行取走的1元中，取走的利息是2.4869×10%，取走的本金是1-2.4869×10%=0.7513，因此，取走的本金0.7513，不能再参与以后利息的计算。也就是说，初始本金2.4869，减少了0.7513的本金，剩余本金为2.4869-0.7513=1.7355，这是第二年计息的基数。 普通年金每年等额收付的年金中，包括利息与本金，而每年收付的本金，则不能参与以后的计息计算，上面例子完整的计算过程如下：（有些小数差异，暂不考虑） 年初存入2.4869元，每年末从银行取款1元，3年共取走3元，赚取的利息为3-2.4869=0.5131元。 掌握好上述原理，以及理解透彻计算过程，其益处是非常明显的，因为您会发现，只要涉及到等额收付复利计算的问题，基本上全部是按照上述原理及过程进行的，正所谓一通百通。 三、普通年金公式的讲解 之所以把这部分放在计算方式之后，是因为之前有例子，便于直观的理解。 经常有人会疑惑： 普通年金的公式中：假设年金为1，期数为3，利率为10% PA =1÷（1+10%）1+1÷（1+10%）2+1÷（1+10%）3 ，为什么这是现值？笔者经常碰到有人这样问，为什么把每年年金折现到期初，就是年金的现值？感觉很不好理解。讲解如下： 我们倒推：第三年末计息前的本金应该为： （1/1.1）=0.9091. 因为只有这样，才会满足（1/1.1）×1.1-1=0的结果。不好理解看上表的第3年的期初本金0.9091。 第二年末计息前的本金应该为： （1/1.1+1/1.12）=1.7355元，，因为只有这样，才会满足（1/1.1+1/1.12）×1.1-1=1/1.1的结果。看上表的第2年的期初本金1.7355 同理，第一年计息前的本金应该为： （1/1.1+1/1.12 +1/1.13 ）=2.4869，因为只有这样，才会满足（1/1.1+1/1.12 +1/1.13）×1.1-1=1/1.1+1/1.12 的结果。 第一年计息前的本金，也就是期初的本金2.4869。 所以，期初的本金=（1/1.1+1/1.12 +1/1.13 ）=2.4869元。 四、普通年金小于利息的情况 上例中每一次取钱都大于按照实际利率法计算的利息，有时可能会反过来，我们来看其计算及其理解。 举一个简单例子： 投资人购买3年期债券，面值1000元，票面利率8%，每年年末支付利息，本金到期一次支付，市场年利率10%，计算债券价值。 债券价值，就是买了债券后，每年收回的利息，与到期后一起收回的本金，两者之和折现到期初的价值。 债券价值=1000×8%×（P/A,10%,3）+1000×(P/F,10%,3)=80×2.4869+1000×0.7513=950.25元。 也就是说，投资人在期初支出950.25元，与3年每年末收取80元，以及第三年末收取1000元的经济效益是等价的。此时，如果此债券的发行价高于950.25，则投资人应放弃该投资。 这个例子，特殊的地方在于每年等额收取的利息，小于实际计算的利息，详见下表： 从上表，第1年每期收取利息为80元，但小于实际利息95.03元，差额-15.03元，如何理解？实际的意思是，支付的80元，还不够支付利息的，因此未对付的利息金额作为本金的增加继续参与计算。所以在表中，可以看出实际上每期的本金都在增加。 从另一方面理解，本次发行债券，实际上是折价发行，所以每期支付的利息也比市场利率的少。 五、预付年金与递延年金 普通年金是在每期期末时等额收付，但日常经济业务中不可能总是满足这些条件，比如在期初支付，比如不是从第一年开始等额收付，这就牵扯到预付年金与递延年金。 先说预付年金，举例如下： 每年年初在银行里存入1元钱，共3年，年利率10%，求其现值。 这个肯定不能用普通年金现值来计算，因为不是期末发生。 年初存入的1元现值为1元，第二年年初存入的1元，现值为1/（1+10%）；第三年年初存入的1元，现值为1/（1+10%）2 ，所以其现值为=1+1/（1+10%）+1/（1+10%）2 =1+0.9091+0.8264=1+1.7355=2.7355 式中的1.7355是什么？查表可知，是期数为2，利率为10%的普通年金现值系数，即P/A,10%,2).所以，3年，利率10%的预付年金现值系数=1+（P/A,10%,2）。 通用的公式为：预付年金现值系数=（P/A,I,(n-1)）+1 预付年金还有一种算法： =【1+1/（1+10%）+1/（1+10%）2 】=【1/（1+10%）+1/（1+10%）2+1/（1+10%）3 】/（1+10%）= （P/A,10%,3）/（1+10%） 即，预付年金现值系数=（P/A,10%,3）/（1+10%） =普通年金现值系数/（1+折现率） 所以，相应的，年金为1，期数为3，利率为10%的预付年金现值系数有三种计算方式： 1、1+1/（1+10%）+1/（1+10%）2 2、1+（P/A,10%,2） 3、（P/A,10%,3）/（1+10%） 再说递延年金，还是以银行存款为例。第一年末存入2元，第二年末存入3元，第三年末存入1元，第4年与第5年末均存入1元，利率10%，求现值。 从第三年末开始等额存入1元，这属于递延年金。其现值=（P/A,10%,3)×(P/F,10%,2)=2.4869×0.8264=2.055元。 验算，从第三年末开始每年存入1元，其现值为=1/（1+10%）3+1/（1+10%）4+1/（1+10%）5 =0.7513+0.6830+0.6209=2.055元。与上相等。 这里有个问题需要注意，后三年开始按照普通年金计算，为什么折现时要按照2期？这里一定要注意概念，从第三年年末开始按照普通年金计算，计算得到的是第二年年末的现值，第二年年末折现到年初，折现两期即可。 所以，递延年金现值= (P/A,I,N)*(P/F,I,M)，其中，M是递延期，上例中，从第三年年末开始等额收付，因此递延期M=3-1=2. 其实这些式子看着复杂，但只要明白了其中的原理，基本无需记忆，只要按照原理计算即可。 来源：中国税务报客户端 |
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