 分析 我们先根据题意补全图形  第一问是想证明∠CAD=∠ABE  这一问的解法有很多，我们逐个来分析。 思路分析1  可以看到∠1+∠3=∠BAC， 如果有能 ∠2+∠3=∠BAC 就太好了。 顺着这个思路  容易发现 ∠2+∠3=∠4. （这是因为三角形外角等于不相邻内对角之和） 有了“∠4”我们自然要思考它与 ∠ADC和∠BAC的关系， 从图中看，容易发现 ∠ADC=∠4. 这是因为BE∥CD， (两直线平行同位角相等) 这样我们就得到了 ∠2+∠3=∠ADC， ∠2+∠3=∠BAC， 再根据 ∠1+∠3=∠BAC， 得出∠1=∠2. 思路分析2  可以看到∠2=∠ABC+∠CBE， 是否有∠1=∠ABC+∠CBE， 根据AB=AC,BE∥CD, 可知∠ABC=∠ACB, ∠CBE=∠BCD, (两直线平行内错角相等) 但是并不能直接得到 ∠1=∠BCD+∠ACB. 可以试着这样“构造”  在DA延长线上取一点F，使得∠DCF=∠ACB. 这样我们可得 ∠BCD=∠ACF(公共角模型), 同时根据条件∠ADC=∠BAC， 可知∠DCF=∠DAF, 所以我们有 ∠1=∠DAF+∠ACF =∠DCF+∠BCD =∠ACB+∠BCD =∠ABC+∠CBE =∠2. 能想到这样的做法还是根据 三角形外角等于不相邻内对角之和 思路分析3  延长CD交AB于点G， 看到条件∠ADC=∠BAC, 再根据∠ACD=∠ACD. 可知△ADC∽△GAC. 则有∠1=∠5. 又因为CG∥BE， 有∠2=∠5 所以∠1=∠2. 第二问简单分析 首先是找与CD相等的线段 如果没有思路“直接尺子量” 可以发现要证AE=CD. 我们该怎么样构造辅助线呢？ 如果平时学习的模型套不上怎么办？ 就是找全等。 题目的条件一定会暗示我们证明哪队三角形是全等的。  条件给出AB=AC， 第一问结论∠1=∠2. 一对角相等， 一组边相等， 多好的证全等暗示。 那应该选择哪两个三角形全等呢？ 包含∠1与AC的三角形有△ADC等等。 因为我们是想证CD=AE, 所以肯定是找与△ADC全等的三角形。 观察图，没有直接能全等的三角形。 怎么办？ ∠2与AB暗示了辅助线的做法  在BE上取一点H，使得BH=AD. 这样我们就有 △ADC≌△BHA(SAS). 则有CD=AH. 下面只需证明AH=AE， ∠AHE=∠2+∠BAH, ∠AEH=∠EDC, ∠EDC=∠1+∠ACD, 又因为∠ACD=∠BAH， ∠AEH=∠1+∠BAH =∠2+∠BAH=∠AHE. 根据等角对等边就能得到 CD=AH， 所以AE=CD. 注：以上是分析过程，请同学自己写答题过程。 |
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