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立体几何在高考试题中一般都会安排选填题题和解答题。通常解答题并不难，因为解答题都会给出图形，一般用空间向量就可方便求解。反而有些选填题有时会比较难，原因是选填题很多是不给图形的，因此会觉得较难。那么如何来处理这种选填题呢？正好昨天有一位同学问了一个立体几何的选填题，我就用此题为例谈谈立体几何选填题的解题策略。 同学的问题： 这种题同学们没能解答的主要原因是没能构造出几何模型，所以解答这种问题策略就是要根据题意去构造几何模型。几何模型无非就是柱、锥、（台）和球，柱、锥、（台）又分多面体和旋转体。有了几何模型画出图形一般也就容易分析求解了。 在这个问题中直线a、b和三角形ABC看似都是散乱在空间，但是根据空间线面关系梳理一下，就能构造出一个几何模型——圆锥。如图： 构造的过程是这样的，过点C分别作直线a、b的平行线a'、b'，因a⊥b,所以a'⊥b'，又因为AC⊥a且AC⊥b，所以AC⊥a'，AC⊥b'，因此AC垂直直线a'、b'所在的平面。斜边以AC为旋转轴旋转，那么就得到了常用的几何模型——以AB为母线的圆锥。要研究的四个结论都是斜边AB与直线a、b所成的角。根据异面直线所成角的定义，过点B作BD∥a'∥a，交PQ（b'）于D，BE∥b'∥b交ST（a'）于E，则角ABD和角ABE分别就是斜边AB与直线a、b所成的角。这样我们又构造出了一个四棱锥A-CDBE（B不与点P、Q、S、T重合时），其中三角形ACD、三角形ADB、三角形ACE和三角形AEB都是直角三角形，它们的直角顶点分别是C、D、C、E，而底面CDBE是矩形。 设ＡB=2m， 则AC=BC=√2m 结论①和结论②，当AB与a成60°角时即角ABD=60°，所以BD=m，BE=m，所以角ABE=60°，即AB与b成60°角，因此结论①错误，结论②正确； 结论③和结论④，AB与a所成角要最小，那么就要使得BD最长。在圆C中半弦BD≤半径SC，所以当点B与S或T重合时角ABD最小为45°，即AB与a所成角最小值为45°。同理AB与a所成角要最大，那么就要使得BD最短。BD最短就是当B与P或Q重合时BD=0，此时AB⊥a（三垂线定理），所以AB与a所成角的最大值是90°，因此结论③正确而结论④错误。 |
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