【原】第16招：移宫换羽-可转化为其它类型函数的三角函数最值问题

第16招：移宫换羽 - 可转化为其它类型函数的三角函数最值问题

在三角函数求最值命题中,有一部分题是利用整体思想借用基本初等三角函数图像求的,还有一部分利用换元思想与二次函数单调性问题解决,再有一部分利用函数性质与导数法,不同于以往前两种常规的方法,给人一种“移宫换羽”的感觉。

四种常见形式:

四种基本方法:

(1)辅助型:形如的形式,再求值域(最值);

说明:在对“辅助角型”,利用整体思想()借用基本初等三角函数图像的单调性一看便知.;

(2)二次型:,化为关于 的二次函数,再求值域(最值);

(3)和积型:形如的三角函数,可设,化为关于的二次函数,再求值域(最值);

(4)导数型:形如的三角函数,涉及导数法或不等式法等,再求值域(最值)。

运用上述方法,把三角函数最值问题转化为其它类型的函数最值问题,可见有“移宫换羽”之功效。

（2018全国1卷理）已知函数,则的最小值是_______.

【答案】

【解析】解法一:因为,所以是的一个周期,不妨取区间进行分析。

由解得

或

当在上变化时,的变化情况如下表:

	+	0	-	0	-	0	+
	递增	极大值	递减		递减	极小值	递增

由表可知函数在上的极小值即为函数在定义域上的最小值,所以。

说明:由题意可知是的一个周期,问题转化为在上的最小值,利用求导数计算极值与端点值,比较可得。

点评:本题考查三角函数周期与恒等变换,涉及导数求函数在区间上的最值。考查学生的化归与转化能力、运算求解能力,考查的核心素养是数学运算。

解法二:利用的奇偶性,把的最值问题转化为的最值问题。

因为,所以为奇函数

又因为,

所以,令

则的最值点与的最值点相同。

下面解法同解法一(略)

解法三:把奇函数的最值问题转化为的最值问题,再利用换元及高次函数求导法。

同方法二的奇函数,

所以

设,则

所以

当当

所以当;当,

即,所以,所以

解法四:利用,四元基本不等式求最值。

同上得奇函数,

所以

当且仅当即时取等号,

所以,所以.

所以得最小值为

1.(2019长沙质检)函数的值域为__________

2.在锐角中,角,,的对边分别为,,,且.

(1)求角;

(2)求的取值范围.

3.(2020年全国新课标Ⅱ.21—(1)(2))已知函数，

(1)讨论在区间的单调性;

(2)证明:;