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公理是被几千年的时间神圣化的偏见 ——埃里克 T.贝尔 在对立中思考,在博学中致知,在质疑中发现,在问题中创新,在统一中完善。当我们觉得已经把某件事物认识清楚了,这时候迅速换一个角度,甚至站到对立面去思考,争论,就像金庸笔下的周伯通经常自己跟自己打,即左右互搏,这应该是我们研究问题一种方式和思维习惯。 一、哲学阐释 对立统一规律:世界上任何事情内部和事物之间都包含矛盾的两个方面,矛盾的双方既对立又统一。事物的运动发展在于自身的矛盾运动,矛盾的斗争性和同一性、普遍性和特殊性(共性和个性、绝对和相对、一般和个别)统一于客观事实。对立统一规律揭示了事物发展变化的源泉和动力,它贯穿于辩证法其它规律和范畴之中,是辩证法的实质和核心。《道德经》第二章:天下皆知美之为美,斯恶已;皆知善之为善,斯不善已。故有无相生,难易相成,长短相形,高下相盈,音声相和,前后相随。翻译:天下都知道美之所以为美,丑的观念也就产生了;都知道善之所以为善,恶的观念也就产生了。有和无相互生发,难和易相互转化,长和短相互彰显,高和下相互依存,音和声相互配合,前和后相互跟随。《道德经》第二十二章:曲折全,枉则直,洼则盈,敝则新,少则得,多则惑。翻译:委屈反能保全,屈枉反能伸直,卑下反能充溢,破旧反能更新,少取反而会有所收获,多取反而会迷惑。理解:世界万物相反相因、对立相成、相互依赖、彼此转化。二、从科学的发展角度理解 光是波还是粒子,笛卡尔的两点假说,一种假说认为,光是类似微粒的一种物质,牛顿用微粒说阐述了光的颜色理论,惠更斯提出了波动学说比较完整的理论等等,再到 1887 年,德国科学家赫兹发现光电效应,证明了光粒子性,最后再 1905 年爱因斯坦提出了波粒二象性,即对于时间的平均值,光表现为波动;对于时间的瞬间值,光表现为粒子性,因为这一成就,爱因斯坦获得诺贝尔物理学奖。三、从数学发展的角度来理解 在欧几里得几何里:在平面内,过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线不相交(平行),Legendre 得出这条公理与三角形内角和 180°是等价的。在罗巴切夫斯基几何里:在平面内,过已知直线外一点至少有两条直线与该直线不相交,由此可以演绎出一系列全无矛盾的结论,并且可以得出三角形的内角和小于两直角。在黎曼几何中里:在同一个平面内任何两条直线都有公共点(交点)。构成三角形的内角和大于 180°。黎曼几何可以通过一个经过适当“改进”的球面来解释。
这些与现实经验完全相悖的几何学会有什么实际意义?很多人认为高斯、波耶、罗巴切夫斯基、和黎曼只是在钻了牛角尖,只是为了满足理智上的好奇心而玩弄改变平行公理的游戏,所以创建了新的几何学。但罗巴切夫斯基几何在天体物理学中有着广泛的应用,黎曼认为欧几里得公理可能只是物理空间的近似写照,为了确定什么是物理空间的真理,需要把物质和空间结合起来,这个思路很自然就引导到相对论,物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何,在广义相对论里,爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的概念,他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似而均匀的,但是整个时空是不均匀的,物理学中的这种解释,恰恰和黎曼几何的观念是相似的。四、在学习和解题中的理解 一如老子所说:天下皆知美之为美,斯恶已。函数单增的概念讲清楚了,单减的概念就自然出来了;奇函数的概念讲清楚了,偶函数的概念也自明了,数学中的概念也是相反相成。在解题过程中,我们常常一边计算、一边化简,这样内涵关系往往更明确,但有时候,我们也反其道而行之,甚至选择最一般的表达方式,这样得出的算式整齐且对称,反而简化了计算过程,并便于观察。三个二次——二次方程、二次不等式和二次函数的关系告诉我们:在一个运动变化的过程中,相等只是一瞬间的事情,而不等才更具普遍性,而他们相互联系统一在一起。在研究不等式时候,首先是要找对应方程的根;研究不等式,常常从函数的角度来看,不等式恒成立、能成立转化为函数的最值来处理。
条件的次数是低,要求的式子次数却是高;从结论往条件走,需降幂,从条件往结论,需升幂,它们在解决这个问题的过程中,对立统一,相反相成。
其实解决数学题目,就是寻找条件和结论的对立性(差异性),通过它们之间的联系,实现二者的统一。------------------------------------
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