我们现在的所说的欧几里得几何是建立在下面五条一般性的公理（也被称为一般性概念），和五条几何学公理（也被称为公设）之上的。
那些公理都是不证自明的，或者说无法证明的。
五条一般性的公理分别是：
如果a=b, b=c, 那么a=c；
如果a=b，c=d，那么a+c=b+d;
如果a=b，c=d，那么a-c=b-d;
彼此能重合的物体（图形）是全等的;
整体大于部分。
五条几何学公理分别是：
由任意一点到另外任意一点可以画直线（也称为直线公理）；
一条有限直线可以继续延长；
以任意点为心，以任意的距离（半径）可以画圆（圆公理）；
凡直角都彼此相等（垂直公理）；
过直线外的一个点，可以做一条，而且仅可以做一条该直线的平行线（平行公理）。至于平行线，就是平面上永不相交的两条线。
对于这十条公理，前九条大家也都没有疑问，但是最后一条公理就有不同意见。
第一个人叫做罗巴切夫斯基，他假定过直线外一个点，能够做该直线的任意多个平行线。如果我们承认他所作出的这个假设，并且应用由此而来的全部结论，那么空间就由我们平时熟悉的方方正正的形状，变成了马鞍形，也称为双曲面。
第二个是著名数学家黎曼，他假定经过直线外任意一个点，一条平行线也做不出来，这样构建的几何学被称为黎曼几何。在黎曼几何中，空间被扭曲成椭圆球的形状。这个空间每一个切面是椭圆，因此它也被称为椭球空间。
这两个人由于得出的很多结论都不符合欧氏几何，因此它们被统称为非欧几何。应该讲，罗巴切夫斯基和黎曼在构建各自的几何学体系时，也不知道它们有多少实际用途。黎曼几何诞生半个多世纪后，真正让它为世人知晓的是著名的物理学家爱因斯坦。在爱因斯坦著名的广义相对论中，所采用的数学工具就是黎曼几何。
之所以采用黎曼几何这个工具，而不是欧氏几何来描述广义相对论，是因为时空和物质的分布是互相影响的，并不像牛顿力学里面所认为的时空是固定的。特别是在大质量星球的附近，空间被它的引力场弯曲了。
1918年，爱丁顿爵士利用日食观察星光曲线的轨迹，证实了爱因斯坦的理论。这件事也让黎曼几何成为了理论物理学家们很常用的工具。比如，在过去30年中，物理学家对超弦的理论极度着迷，而黎曼几何（以及由它派生出的共形几何），则是这些理论的数学基础。此外黎曼几何在计算机图形学和三维地图绘制等领域有广泛的应用。特别是在计算机图形学中，今天计算机动画的生成离不开它。
