【解题研究】（2021河北26）旋转•勾股定理•全等与相似•综合探究

2021河北26题

在一平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段顺次首尾相接．把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（α＞0°）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置．

论证：如图1，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10；

发现：当旋转角α＝60°时，∠ADC的度数可能是多少？

尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离；

拓展：①如图2，设点D与B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）；

②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出α的余弦值．

试题分析

论证：证△AOD≌△BOC，可得AO＝BO，所以AO＝10；

发现：分两种情况，①设AB的中点为O，当AD从初始位置AO绕A顺时针旋转60°时，BC也从初始位置BC'绕点B顺时针旋转60°，BC旋转到BO的位置，即C以O重合，从而可得∠ADC＝60°；②当AD从AO绕A逆时针旋转60°时，CD从CD'的位置开始也旋转60°，故△ADO和△CDO都是等边三角形，此时∠ADC＝120°；

尝试：

本问主要考察：勾股定理，A字型相似等内容，重点添加辅助线；

当点M与点B距离最大时，D、C、B共线，过D作DQ⊥AB于Q，过M作MN⊥AB于N，由已知可得AD＝10，设AQ＝x，则BQ＝20﹣x，100﹣x²＝400﹣（20﹣x）²，可得AQ  ，DQ  ，再由MN∥DQ，得  ，MN  ，即点M到AB的距离为  ；

拓展：

①本问主要考察：勾股定理，相似等内容，重点添加辅助线；

设直线CP交DB于H，过G作DG⊥AB于G，连接DP，设BG＝m，则AG＝20﹣m，由AD²﹣AG²＝BD²﹣BG²，可得m  ，BG  ，而△BHP∽△BGD，有  ，即可得BP  ；

②本问主要涉及：勾股定理，三角函数，设k法，特殊角，辅助线等

过C作CK⊥AB于K，过F作FH⊥AC于H，利用勾股定理建立方程求出 AK，进一步求出CK，再借助tan∠KAC值，设FH  k，则CH＝FH  k，AH＝5k，由AC＝AH+CH＝10  ，可得5k  k＝10  ，解得k  ，从而AF      ，再求cosα．

题目解析 

论证：

证明：∵AD∥BC，

∴∠A＝∠B，∠C＝∠D，

在△AOD和△BOC中，

  ，

∴△AOD≌△BOC（ASA），

∴AO＝BO，

∵AO+BO＝AB＝20，

∴AO＝10；

发现：①设AB的中点为O，如图：

当AD从初始位置AO绕A顺时针旋转60°时，BC也从初始位置BC'绕点B顺时针旋转60°，

而BO＝BC'＝10，

∴△BC'O是等边三角形，

∴BC旋转到BO的位置，即C以O重合，

∵AO＝AD＝CD＝10，

∴△ADC是等边三角形，

∴此时∠ADC＝60°；

②如图：

当AD从AO绕A逆时针旋转60°时，CD从CD'的位置开始也旋转60°，故△ADO和△CDO都是等边三角形，

∴此时∠ADC＝120°，

综上所述，∠ADC为60°或120°；

尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，D、C、B共线，过D作DQ⊥AB于Q，过M作MN⊥AB于N，如图：

由已知可得AD＝10，BD＝BC+CD＝20，BM＝CM+BC＝15，

设AQ＝x，则BQ＝20﹣x，

∵AD²﹣AQ²＝DQ²＝BD²﹣BQ²，

∴100﹣x²＝400﹣（20﹣x）²，

解得x  ，

∴AQ  ，

∴DQ  ，

∵DQ⊥AB，MN⊥AB，

∴MN∥DQ，

∴  ，即  ，

∴MN  ，

∴点M到AB的距离为  ；

拓展：

①设直线CP交DB于H，过D作DG⊥AB于G，连接DP，如图：

∵BC＝DC＝10，CP平分∠BCD，

∴∠BHC＝∠DHC＝90°，BH  BD  d，

设BG＝m，则AG＝20﹣m，

∵AD²﹣AG²＝BD²﹣BG²，

∴100﹣（20﹣m）²＝d²﹣m²，

∴m  ，

∴BG  ，

∵∠BHP＝∠BGD＝90°，∠PBH＝∠DBG，

∴△BHP∽△BGD，

∴  ，

∴BP    ；

②过C作CK⊥AB于K，过F作FH⊥AC于H，如图：

∵AD＝CD＝10，AD⊥DC，

∴AC²＝200，

∵AC²﹣AK²＝BC²﹣BK²，

∴200﹣AK²＝100﹣（20﹣AK）²，

解得AK  ，

∴CK  ，

Rt△ACK中，tan∠KAC  ，

Rt△AFH中，tan∠KAC  ，

设FH  k，则CH＝FH  k，AH＝5k，

∵AC＝AH+CH＝10  ，

∴5k  k＝10  ，

解得k  ，

∴AF      ，

Rt△ADF中，

cosα  ．

解后反思

  1．本题考查几何变换的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等边三角形判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，题目综合性强，解题的关键是用添加辅助线，几问辅助线类似，通过做高构造背靠背型双直角三角形处理．

2．求线段长的问题解题策略：主要利用勾股定理，相似，三角函数求解，往往需要构造直角或相似.

（1）若涉及中点，常利用等腰三角形三线合一、直角三角形斜边中线等于斜边的一半、中位线、倍长中线处理；

（2）用勾股定理求解：（注意列方程）

多用于折叠的图形中（15题）或直角坐标系中两点间的距离，或是圆中与弦有关的线段的长度求解；

（3）用相似三角形求解：

多用于旋转变换的图形中，以及圆中存在相似三角形的图形中，有些三等角的图形中也常用相似来求线段的长度；

（4）面积法求解：用于求与高有关的图形中线段的长度，如直角三角形斜边上的高，三角形的内心到三边的距离等图形中；

（5）三角函数法求解：涉及角的度数或角的大小固定可利用三角函数求解.

（6）常见图形结构：直角+中点，平行+角平分线等；

（7）遇比例的条件，常设k法处理；

（8）注意利用方程思想列出方程解题：

设出适当的未知数,其余的线段全部用所设的未知数表示出来，往往向直角三角形中集中，考虑用勾股定理，或相似由比例式列出方程进一步求解.

（9）注意挖掘复杂题目中隐含条件，尤其挖掘特殊角、相似、全等，有时挖掘特殊角是解题关键.

（10）坐标系中的距离：

已知A  、B  ，则距离公式：AB ；