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法向量,从三维到二维的“穿越”

 jingruiqiang 2021-09-16

源于许久之前的一个问题:


另解:两平行平面之间的距离可以转化为点到平面的距离,我们可以利用空间向量解决这类问题。

当把这两种方法写在黑板上时,回头看,心里着实惊了一下,平面的法向量与平面方程中系数相同,巧合还是必然?短暂思考后,得到结论,是必然!、

在高中阶段,平面方程不常见,那在平面直角坐标系中呢?

也可以利用直线的法向量轻松解决点到直线的距离问题。

在必修2中是利用直角三角形斜边上的高,等面积法推出的,在这里,我们可以借助于向量在法向量上的投影长轻松求出。

实际上当时的我只是给学生们推到这里,也没有多想直线的法向量的其他用途。

直到遇见了下一道题:

但是这道题,求的是点的坐标,似乎就稍微复杂一些了。

也可以利用参数方程的思想解决这列问题:

由第一种解法可以知道,满足条件的两点在过圆心与直线垂直的直线上。垂直,我顿时想到法向量,接下来尝试利用法向量求解:

显然利用法向量可以轻松解决与易知直线垂直直线上的点的问题,想到这里,我不由想到困惑我已久的点关于直线对称的点的问题。

利用平直线的法向量,在解决与直线垂直的相关问题上,有着非常重要的作用。当然除了直线的法向量,还有直线的方向向量也有着广泛的应用,有兴趣的朋友可以自行研究。

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