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是否存在人类永远都解决不了的数学问题呢？存在的，不仅存在，数学家还给出了这种存在的定理——哥德尔不完备定理。 简单地说，不完备定理就是说，一个数学系统存在一些问题，它们怎么看怎么对，可你就是证明不了！  1931年，25岁的奥地利裔美国数学家哥德尔提出来不完备定理。不完备定理是现代逻辑史上最重要的里程碑之一，该定理与塔尔斯基的形式语言的真理论，图灵机和判定问题，被赞誉为现代逻辑科学在哲学方面的三大成果。 不完备定理最早的思想渊源来自“说谎者悖论”。 公元前4世纪麦加拉学派的欧布里德提出，悖论内容为：如果某人说自己正在说谎，那么他说的话是真还是假？其更早的雏形是公元前6世纪，克里特哲学家埃庇米尼得斯的名言：“我的这句话是假的。” “我的这句话是假的。”，到底这句话是真的还是假的呢，这看起来就是一个没有意义的文字游戏，但其中智慧在两千年后的20世纪被数学家们诠释出来。 数学家们曾经有一个伟大构想，就是用一套系统来解决所有数学和逻辑问题，类似物理界统一场。集合论的发展使得数学家看到了希望，就在大家觉得要世界大同的时候，哥德尔给出了不完备定理。数学家们在这方面的努力戛然而止。可证的一定是真的，但真的不一定可证，悖论的乌云将永远笼罩着人类。数学家们感叹：“上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。”如果用辩证唯物主义主义语言描述，就是这世界存在规律，也存在扰动，世界大部分时间是按照规律运行的，除非当你要按照规律行事的时候。 不完备理论对物理学、哲学等诸多学科影响很大。1961年，牛津大学的哲学家卢卡斯提出，根据哥德尔不完全性定理，机器不可能具有人的心智。2002年，霍金在北京举行的国际弦理论会议上发表了题为《哥德尔与M理论》的报告，认为建立一个单一的描述宇宙的大统一理论是不太可能的。 既然数学是不完备的，那么哪一个定理既是对的也是无法证明的呢？可能我们最熟悉的就是哥德巴赫猜想了，超级计算机把猜想验证到省略号级别，但至今没人能证明它是对的，也没有人能证明它是错的。那是不是就是说哥德巴赫猜想是哥德尔不完备定理的鲜明例证呢。 不是！不但它不是，也没有问题是。因为要证明一个定理符合不完备定理和要证明这个定理是真命题或者伪命题好像是一个问题。剩下的工作交给了哲学家吧。  |
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