【原】一个有限级数的难题

1、有限调和级数：

1+1/2+1/3+……+1/n=∫(0，1)[(1-tⁿ)/(1-t)]dt=f₁(n).（第一形式）

2、一个有限级数的难题：

（1）有限阶乘级数：

0!+1!+2!+……+(n-1)!=∫(0，1){[1-(-lnt)ⁿ]/(1+lnt)}dt.

（2）有限倒阶乘级数：(难题1)

1/0!+1/1!+1/2!+……+1/(n-1)!=f(n)=？(变“离散函数”为连续函数)

3、有限调和级数的第二形式：

（1）两个公式——（n为正整数）

①  ∫(0，π/2)(cosx)^n-1cos(nx+x)dx=0；

②  ∫(0，π/2)(cosx)^n-1sin(nx+x)dx=1/n.

③  证法：将“和角函数”展开变换即得之。

（2）相关公式——

①公式：（n为自然数）

∫(0，π/2)(cosx)ⁿcos(nx)dx=π/2ⁿ⁺¹；

∫(0，π/2)(cosx)ⁿsin(nx)dx=(π/2ⁿ⁺¹) ∑ⁿ_k=1(2^k/k).

②证法：结合（1）中的两个公式，用“数学归纳法”证之。

（3）一个通项—— ∫(0，π/2)(e^xicosx)^n-1e^2xidx=i/n.（i²=-1）

（4）有限调和级数的第二形式——

①   ∑ⁿ_j=1(1/j)=∫(0，π/2){[cosx-cosⁿxcos(nx+x)]/sinx}dx=f₂(n)；

②   π/2=∫(0，π/2){[cosⁿxsin(nx+x)]/sinx}dx.

4、难题2：

当n为实数时，f₁(n)与f₂(n)是否恒等？例如，f₁(1/2)=2-2ln2，f₂(1/2)=？.

更准确的不等式：（n≥2）

1/2+1/3+……+1/n＜∫(1，n)(1/x)dx＜1+1/2+1/3+……+1/(n-1) 

1/n+lnn＜1+1/2+1/3+……+1/n＜1+lnn.