【原】浅谈你不知道的 R（sinx ,cosx）的相关应用

先来说说R（sinx ,cosx）

  R（sinx ,cosx）实际上为二元函数R（a,b）,也就是说sinx与cosx分别作为这个二元函数的参数，然后再进行函数计算。

 ➤R（a，b）表示由变数a，b和常数经过有限次四则运算构成的二元有理函数。

  for example：

☞❶    如果R（sinx,cosx）是关于sinx 的奇函数，

即R（-sinx， cosx）=-R（sinx， cosx）

浅浅举个例子吧

R（sinx,cosx）=sin³x /cos²x

R（-sinx，cosx）=（-sinx）³/cos²x = -sin³x /cos²x=  -R（sinx,cosx）

☞❷如果R（sinx,cosx）是cosx 的奇函数，

即R（sinx， -cosx）=-R（sinx， cosx）

R（sinx,cosx）=cot³x=cos³x/sin³x

R（sinx， -cosx）=（-cosx）³/sin³x=-cos³x/sin³x

=-R（sinx， cosx）

定理 设f（x）为连续函数，则

∫₀ ^π/2 f(sinx ，cosx）dx = ∫₀ ^π/2 f(cosx ，sinx）dx

下面给出证明（编排太难了我直接手写）

开始进入正题

证明欧拉积分   J=∫₀ ^π/2 In（sinx）dx= -π/ 2  In 2

上面的是学习通答案的证明，那就看我让你容易理解的参考答案

其实，对于∫₀ ^π/2 In（sin2x）dx， 我们可以作替换t=2x，

则∫₀ ^π/2 In（sin2x）dx =1/2 ∫₀ ^π In（sint）dt =∫₀ ^π/2 In（sinx）dx  （因为sinx 在【0，π】关于x= π/2  轴对称）

以下是结论！！！

所以   ∫₀ ^π In（sinx）dx  =2∫₀ ^π/2 In（sinx）dx

有这个结论的话，计算∫₀ ^π In（sinx）dx 不就是显然了吗

∫₀ ^π In（sinx）dx =  -π In2

写在最后 ，补充一些三角函数里常用的凑微分

三角有理函数积分基本理论:

①R(sinx, cosx)= -R(-sinx, cosx), 凑d(cosx)， 可令t=cosx

②R(sinx, cosx)= -R(sinx, -cosx), 凑d(sinx)， 可令t= sinx

③R(sinx, cosx)= R(-sinx, -cosx), 凑d(tanx)， 可令t=tanx

举例

虽然在三角函数R（sinx， cosx）里有万能换元t=tan（x/2），

但是有的时候计算量确实够呛的，对一些特殊的三角函数关于sinx， cosx具有某些性质，则应用特殊换元肯定更香滴！