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前面已经介绍了求不定积分的两个基本方法，分别是换元积分法和分部积分法。换元积分法分为第一类换元积分法、第二类换元积分法，分部积分法3大总结。如果不是太明白或者不是很清楚的可以看下第三讲的内容。 下面我们介绍有理函数的积分和简单无理函数的积分及三角有理式的积分。 一、有理函数的积分 两个多项式的商P(X)/Q(X)称为有理函数，又称为有理分式。我们总假定分子多项式P(X)与分母多项式Q(X)之间是没有公式的。当分子多项式P(X)的次数小于分母多项式Q(X)的次数时，称这有理函数为真分式，否则为假分式。 利用多项式的除法，中欧冠可以将一个假分式化为一个多项式与一个真分式之和的形式，列如被积函数 (2x^4+x^2+3)/(x^2+1)=2x^2-1+4/(x^2+1) 对于真分式P(X)/Q(X)，如果分母可分解为两个多项式的乘积 Q(X)=Q1(X)Q2(X) 且Q1(X)与Q2(X)没有公因式，那么它可分拆成两个真分式之和 P(X)/Q(X)=P1(X)/Q1(X)+P2(X)/Q2(X) 上述步骤称为把真分式化为部分分式之和。如果Q1(X)或Q2(X)还能分解成两个没有公因式的多项式的乘积，那么就可再分拆成更简单的部分分式。最后，有理函数的分解式中只出现多项式、P1(X)/(X-a)^k、P2(X)/(X^2+PX+q)^l等三类函数(这里p^2-4q<> 列题1.求∫(x+1)/(x^2-5x+6)dx 解：被积函数的分母分解成(x-3)(x-2)，故可设 (x+1)/(x^2-5x+6)=A/(x-3)+B/(x-2) 其中A、B为待定系数，上式两端去分母后，得 x+1=A(x-2)+B(x-3) 即x+1=(A+B)x-2A-3B 比较上式两端同次幂的系数，即有 A+B=1 2A+3B=-1 从而联立方程组解得A=4，B=-3 于是∫(x+1)/(x^2-5x+6)dx=∫(4/(x-3)-3/(x-2))dx=4lnlx-3l-3lnlx-2l+C 列题2.求∫(x-3)/(x-1)(x^2-1)dx 解：被积函数分母的两个因式x-1与x^2-1有公因式，故需再分解成(x-1)^2(x+1).设 (x-3)/(x-1)^2(x+1)=(Ax+B)/(x-1)^2+C/(x+1) 则x-3=(Ax+B)(x+1)+C(x-1)^2 即x-3=(A+C)x^2+(A+B-2C)x+B+C 有A+C=0 A+B-2C=1 B+C=-3 解得A=1，B=-2，C=-1 于是∫(x-3)/(x-1)(x^2-1)dx=∫(x-3)/(x-1)^2(x+1)dx=∫[(x-2)/(x-1)^2-1/(x+1)]dx=∫(x-1-1)/(x-1)^2dx-lnlx+1l =lnlx-1l+1/(x-1)-lnlx+1l+C 对于有理函数的积分，我们指出有理函数可以化为整式与以下四种部分分式之和，这四种部分分式及其不定积分如下：
二、简单无理函数的积分 所谓简单无理函数的积分，通常是指在被积函数中含有形如(ax+b)^(1/n),[(ax+b)/(cx+d)]^(1/n)或(ax^2+bx+c)^(1/2)的根式。此时一般都是要通过变量替换将根式去掉，化为有理函数的积分，具体方法
列题3.求下列不定积分
三、三角有理式的积分 所谓三角有理式就是指以sinx与cosx为变量的有理函数，通常记为R(sinx,cosx)的形式。由于tanx,cotx,secx,cscx都可以由sinx与cosx表示，所以只要讨论sinx与cosx的有理函数就够了。对于这类积分，总可以作代换tan(x/2)=t(称为万能代换)使被积函数有理化。事实上，作这样的代换后，就有 sinx=2sin(x/2)cos(x/2)=2tan(x/2)/sec^2(x/2)=2t/(1+t^2), dx=2dt/(1+t^2) cosx=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)=(1-tan^2(x/2))/sec^2(x/2)=(1-t^2)/(1+t^2) 于是∫R(sinx,cosx)dx=∫R[2t/(1+t^2),(1-t^2)/(1+t^2)]2dt/(1+t^2).这样就把三角有理式的积分化为有理函数的积分。
列题4.求下列不定积分 ∫1/(1+sinx)dx=J 解：做恒等变形后凑微分 法一：J=∫dx/[1+cos(π/2-x)]=∫dx/2cos^2(π/4-x/2)=∫dx/2cos^2(x/2-π/4)=tan(x/2-π/4)+C 法二：J=∫(1-sinx)/(1-sin^2x)dx=∫(1-sinx)/cos^2xdx=∫dx/cos^2x+∫d(cosx)/cos^2x=tanx-1/cosx+C 法三：J=∫dx/[sin^2(x/2)+cos^2(x/2)+2sin(x/2)cos(x/2)]=∫dx/[sin(x/2)+cos(x/2)]^2 =∫2d[tan(x/2)]/[1+tan(x/2)]^2=-2/[1+tan(x/2)]+C 总结：用三角替换t=tan(x/2)，总可以把三角有理式的积分化为有理函数的积分，然而作这样的代换常导致比较复杂的运算，因此，对于某些类型的三角函数的积分，往往是先寻求其他的方法，列如：利用三角函数恒等式将被积表达式作恒等变形，并凑微分。不同的恒等变形产生不同的凑微分法。 所以万能替换法一般情况下在最后使用或者把某些类型的三角函数化为最简再套用。如果一开始就直接用往往会出现非常复杂的计算， 这里面一定要注意。 今天讲了3大类函数的积分法，在不定积分这一章考察大家的函数积分都在这3类函数积分法中，这3类函数积分法不仅仅包含大学高数里面的函数积分法，而且也囊括考研的函数积分法，所以有效的掌握这3类函数积分法很重要。感谢和你们的分享（关注、收藏下）。 |
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