本文内容选自2021年岳阳中考数学几何压轴题。以线段的旋转为背景,构造菱形,并根据相似进行解答问题。题目设计比较灵巧,值得研究。 【中考真题】 (2021·岳阳)如图,在中,,,点为的中点,连接,将线段绕点顺时针旋转得到线段,且交线段于点,的平分线交于点. 【分析】 (1)根据直角三角形的斜边中线的性质,以及含30°角的直角三角形的三边关系可以直接得到结论。 (2)①易得CF与CD相等,进而得到四边形CDEF的一组对边平行且相等,那么它必然是菱形,但是∠CDE为直角,所以必然为正方形。 ②遇到比例则考虑相似。发现BE与FH分别在△BEG和△FCH中,而且他们容易证得相似,就可以转化为求CF与GE的比值了。那么只需求出DG与CD的比值即可难度不大。 (3)有了前面的基础,那么就好求了。还是根据相似得到结论。 先证明∠BGE=∠DGC=∠FCG,再证明∠GBE=∠CFD=∠CDF=α/2(∠ABC=30°,利用外角的性质,可以得到∠ADE=α+60=2∠DBE,再得结论),那么就可以得到△BEG和△FCH相似了。进而转化为求CF与GE的比值。 不过(α-60°)并不好表示,过点D作BC的垂线,可以得到这个角,且有一个直角三角形,进而得到边NG与DN的比例关系,而CF=CD=2DN,所以就比较容易转化了。 【答案】解:(1)在中,,点为的中点, , |
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