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关于存在性探究，有点的存在性、线的存在性、三角形存在性、四边形存在性等，可以探索数量关系或位置关系，通常描述为符合条件的图形是否存在，基本思路是将从这个给定条件出发，判断图形是否存在，依据可以为满足解析式或等量关系、位置关系。 其中对于面积数量关系的探究，一般转化成底或高的数量关系，利用割补法或等积法完成。 题目 如图，在平面直角坐标系中有一个等腰Rt△ABC，A(1,0)，C(-2,0)，点B在第二象限，∠ACB=90°，AC=BC，已知抛物线y=-x²+bx+c经过点A和点B. (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻两边作平行四边形MANB. ①若N点落在x轴上时，求此时N点的坐标； ②若四边形MANB是菱形，求M点的坐标； ③是否存在点M，使平行四边形MANB的面积是Rt△ABC面积的2倍，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由.  解析： (1)求出AC=3，则B(-2,3)，与A(1,0)一并代入解析式中求得b=-2，c=3，所以y=-x²-2x+3； (2)点M在直线AB上方抛物线上，因此它的横坐标范围是-2到1； ①方法一：MA和MB分别是相邻的两边，则MB的对边一定是AN，当点N在x轴上时，意味着MB∥AN，即我们可用过点B且平行于x轴的直线去截抛物线，得到的点一定是M点，如下图：  由抛物线解析式可知，抛物线与y轴交点为(0,3)，将它与点B连接之后，与x轴平行，因此它就是点M，于是M(0,3)； 现在我们可求出MB=2，于是将点A向左平移2个单位即可得到N(-1,0)； 方法二：我们知道平行四边形对角线互相平分，可作出AB中点E，则它同时也是MN的中点，如下图：  求出点M坐标之后，再求出E点坐标，利用中点公式同样可求出N(-1,0)； ②当四边形MANB是菱形的时，根据菱形对角线互相垂直平分，过AB中点E作它的垂线，如下图：  先求出直线AB的解析式为y=-x+1，则这条垂线的解析式可设为y=x+b，代入点E坐标(-1/2,3/2)，求出b=2，于是它的解析式为y=x+2，与抛物线联立x+2=-x²-2x+3，解得x=(-3±√13)/2，由于点M的横坐标范围是-2到1，因此M((-3+√13)/2,(1+√13)/2)； ③我们先解读平行四边形MANB的面积是Rt△ABC面积的2倍，平行四边形被对角线AB分成两个全等的三角形，因此只需要△AMB的面积与△ABC面积相等即可，而△ABC面积为9/2，即寻求一个点M，使得△AMB面积为9/2； 将△AMB的底定为AB=3√2，即高必须是3√2/2，我们可在距离AB为3√2/2个单位的地方作一条平行线，如果它与抛物线有交点，则可找到点M，如下图：  过点M作AB的平行线，过点A作AG⊥MG，作GH⊥x轴 直线AB解析式为y=-x+1，可证AG⊥AB，且∠CAB=45°，于是∠GAH=45°，可证△AGH为等腰直角三角形，根据刚才的分析，AG即为两条平行线间距离，于是AG=3√2/2，可求出AH=GH=3/2，得G(5/2,3/2)，设直线MG为y=-x+b'，代入G点坐标后，求得b'=4，于是y=-x+4，将它与抛物线联立，得-x+4=-x²-2x+3，整理后得x²+x+1=0，而它的判别式△=-3<0，所以不存在这样的点M. 解题反思 第3小问用割补法一样也很简单，至于具体用哪一种，根据题目实际情况选择，相对而言，等积法对一次函数要求可能会更高一些，毕竟涉及到两直线垂直，斜率乘积为-1这种“超纲”知识。 在以抛物线为主的压轴题中，关联多少几何知识一直是仁者见仁，个人认为，纯粹考察二次函数及恒等变换，有失偏颇，数学本来就讲究数形结合。在全国各地的中考压轴题中，我们多数看到的，便是这种类型。 夷陵区这道压轴题，便融入了适当的几何内容，对学生的综合运用能力是个考验，好在总体难度不高，能动手的学生很多。这其实也是一道好题的标准之一，即拿分容易，拿满分很难。 |
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