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约翰·卡尔·弗里德里希·高斯被誉为数学王子，他一生留下了大量的论文，与欧拉一样，也是一个天才般的人物。
高斯于1777年4月30日出生于不伦瑞克，在故乡的卡洛纳公学开始接受教育。高斯小时候，家里很穷，他和费马与笛卡尔不一样，他的家庭并非大富大贵，而是贫民。高斯非常喜欢看书，拦也拦不住的那种，尽管出身卑微，但他却有着贵族般的气质。在他年幼的时候，就对数学产生了浓厚的兴趣，表现出了非凡的智力，他在数学上非常早熟，3岁的时候就可以看到他身上散发出来的数学智慧，似乎他天生就是为数学而生的人。 那一天，年幼的高斯看着父亲在计算工钱，敏锐的他一下子就发现了父亲的错误。 后来，高斯得到了不伦瑞克王子的注意，这位王子资助高斯完成了在私立中学与在哥廷根大学的学业。 1796年，高斯还在读大学的时候就证明了正十七边形可以用没有刻度的尺和圆规来画出来，这一发现是连古希腊数学家都趋之若鹜但没有完成的事情，古希腊人早就已经知道了如何在n是3,4,5的情况下作出这种图形，或者利用累次二等分边的方法从这些图形推演出一些图形来，但最终也就停留在这一步了。实际上，这个作图法最关键的部分在于能否用圆规画出（360/17）°角，如果可以的话，那正十七边形自然就很容易画出来了。 早在一百年前，另一位伟大的数学家笛卡尔就在《几何学》中发明了一种线段是否可以画出来的简单标准，其实这就是求多项式方程的根式解工具，与此类似，如果一个角度的余弦与正弦是可以尺规作图的长度，则这一角度可以用尺规作图法作出来。 高斯凭借自己的天才与勇气，求解了十七次方方程，这对于当时的数学家来讲可谓是一项不小的挑战，因为人们手中能够使用的工具很少，就算能用立方根、四次方根和五次方根操作，但谁也不知道五次方程是否可解。 这一时期，高斯在酝酿他的伟大论著《算术研究》，这本书最后于1801年出版，这是系统阐述数论的第一本书，高斯在书中建立了数论的方法，并确定了数论所要研究的问题，在此后的一个世纪里，这个领域中几乎没有什么发现是不能直接追溯到高斯的研究那里去的。他之前求证十七边形的定理出现在了这本书中，并推广成了一个普遍的定理，即如果n的所有奇质数因子都比2的某次幂多1，且这些奇质数因子只在n中出现一次，则正n边形可以画出。 什么意思呢？简单翻译下，就是n=2的2m次方＋1，只要n是质数，则这个图形就是可以画出来的。 目前我们就已知5个这样的标准质数，3（2的一次方+1）、5（2的平方+1）、17（2的四次方+1）、257（2的八次方+1）和65537（2的十六次方+1）。正65537边形是可以画出来的，不过实际上，这可能需要一个人耗费一生的时间，并且等到他满头白发画出来之时，他可能会发现，在视觉上，这和一个圆没有什么区别。 一直以来，数学家们就对质数这个神奇的玩意有着浓厚的兴趣，首先什么是质数呢，就是除了1和其本身，没有其他数可以整除的，我们就叫它质数，或者叫素数。 数学家们发现，所有的自然数都可以通过几个质数的乘积表示出来，这也就是说，只要人类掌握了质数的规律，那么也就相当于掌握了所有的自然数。 其中最引人入胜的一个问题就是，质数是如何分布的？而这也正是质数的矛盾之处。 从质数的行为来看，它们就好像完全随机地分布在数轴上一样，但是，这一分布又不是完全均匀的。高斯通过经验猜想，质数的密度随n的自然对数成比列下降。什么意思呢？比如一个十位数字是质数的可能性是一个五位数字的一半，是一个两位数字的五分之一。 高斯的这一猜想在十九世纪末被证明后又叫质数定理。 除此之外，高斯在很早就掌握了二项式定理，而且还认识到，如果不加鉴别地使用它，会导致非常荒谬的结论。 比如，在（1+X）的n次方的展开式中，若n不是正整数，则此展开式是一个无穷级数。在这种情况下，必须要附加某些限制才能保证级数收敛于一个有限的极限。在高斯之前，人们对这一问题都没放在心上，或者说在现代人看来，当时的人极为草率。若是在当时找一个数学家，让他将1/1+X或（1+X）的负一次方展开，再令X等于一，便会得出如下荒谬的结论： 1/2=1-1+1-1+1-1+1+…至无穷 高斯在看到这样的例子后，若有所思，使他意识到了严谨性的重要，并且这种严谨贯穿了他的全部工作。离开大学之前，高斯就已经引申出了最小二乘法了，这是一种数学优化技术，通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。 高斯很可能是非欧几何革命的第一人，他早年在与朋友的信中就有过这种革命的想法，在1820年左右，他似乎已经渐渐确认，或许可以另外建立一种非欧几何，只不过这种想法实在是太大胆了，因此他没有明说，而是模糊地告诉了朋友。 非欧几何的第二个革命者是雅诺什·波尔约，他是高斯密友的儿子。在很早的时候，波尔约的老父亲就苦口婆心地劝他不要试图去证明平行假说：“看在上帝的份上，我恳求你还是放弃吧，你要像恐惧之火、情欲之火一样恐惧它，因为它也可能会占用你所有的时间、摧毁你的健康，让你心中无法安宁，并破坏你生命中的幸福。” 然而，波尔约对父亲的劝告无动于衷，他最终写下了一篇24页的论文，是有关他称之为“宇宙中的绝对科学”的。 波尔约对于非欧几何的想法遭到了高斯的打击，高斯说，他发明的非欧几何其实毫无新意。无疑，高斯在这一件事上的行为成了他一生中的污点，因为他打击了一个年轻人的自信心，自此之后，波尔约再也没有发表过一篇数学论文。 也正因为高斯的打击，非欧几何迎来了第三位革命者，不是黎曼，而是俄国数学家尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基。当然，这些都是后话。 在概率上，高斯也有自己独创的贡献，即正态分布。正态分布与泊松分布相对，泊松分布对应的是小概率事件，而正态分布则对应的是一般情况，比如人的身高，极高和极矮都是极个别，大部分人都处于中间状态。这种正态分布如果画一张图形，就是众所周知的“钟型曲线”，也就是“倒U型曲线”。现实生活中，很多例子都符合正态分布。 实际上，在高斯之前，就有数学家研究过这种中间大，两头小的正态分布，不过，高斯为其画上了一个圆满的句号，他对正态分布的主要贡献在于，他利用概率分布的平均值和标准差，来定义了正态分布，这种定义更具有普遍意义。 具体的分析过程这里就不赘述了，直接说结论，在符合高斯分布的事件中，从分布图来看，标准差越大，分布图就越扁平。也就是说，在统计学上，一个研究是否能站得住脚，我们要进行大量的样本抽查，降低其标准差，相信各位都能理解其中的含义。 在费马大定理上，高斯也曾研究过，但最终认为费马是在胡说八道，他甚至声称，自己也可以弄一个无法证明也无法证伪的定理出来。因为费马大定理在当时来讲，尽管吸引了无数的天才投身其中，但一直都没有方向，正如我们今天面对黎曼猜想时的情况一样，都不确定是否能证明它或证伪它。 高斯似乎是一个不断挑战自己的人，他的兴趣广泛，且终生保持了对语言的学习能力。老年的时候，高斯62岁那年，他为了检验自己的大脑是否还活跃如故，去自学了俄语。在没有人帮助的情况下，两年内，他就能看俄语的诗歌和文章了，甚至可以直接用俄语与圣彼得堡科学院的那帮人交流，且说得很溜。 在天文学上，年轻的高斯重新发现了那个忽隐忽现的谷神星，这一发现让他更加耀眼，拉普拉斯-另一位疯狂的智人宣称这位年轻数学家的才能与自己相当，不久之后又说高斯已经超越了自己。 当另一位疯狂的地质学家洪堡爵士问拉普拉斯，谁是德国最伟大的数学家时，拉普拉斯说：“普法夫。”洪堡惊讶地问道：“那高斯呢。” “高斯是世界上最伟大的数学家。”拉普拉斯如是说。 关于高斯还有一则有趣的故事，话说那一年，他9岁，老师布置了一个作业，即求从1到100所有自然数的和。这是一个等差数列的求和，套用公式就可以求得答案，但是，这里其实有一个窍门，一个非常简便的方法。高斯很快就用这个办法得出了答案，他是怎么算的呢？ 首先，1+100=101,2+99=101,3+98=101… 我们发现，将这个数列对折相加，两个数字加起来都是101，从1到100，总共有50对这样的自然数，即最终答案是50*101=5050. 1840年，高斯与韦伯画出了世界第一张地球磁场图，并且次年，这些位置得到了美国科学家的证实。 1855年2月23日，高斯去世，享年79岁。 高斯去世的时候，中国的清朝进入了太平天国第五年。 下期：拉格朗日
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